Обчислити площу поверхні,утвореної обертанням:
а) астроїди \(x=\alpha\cos^3t,\; y=\alpha\sin^3t\) навколо осі Ox;
б) лемніскати Бернуллі \(\rho^2=a^2\cos2\varphi\) навколо полярної осі.
Розв'язок:
а) використовуючи формулу \(P_x=2\pi\int_{\alpha}^{\beta} y(t) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt,\): $$P_x=2\pi\int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt,$$ знайдемо \(x'_t=-3\alpha\cos^2t\sin t,\;y'_t=3\alpha\sin^2t\cos t,\) $$\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}=\sqrt{9a^2(\cos^4t\sin^2t+sin^4 t \cos^2t}=3\alpha\sin t\cos t.$$ Шукана площа дорівнює подвоєній площі поверхні, описаної дугою астероїди, яка лежить у першому квадранті \(\left< 0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\right>:\) $$P_x=2\cdot 2\pi\int_{0}^{\pi/2}{\alpha\sin^3t\cdot 3\alpha\sin t\cdot \cos t dt} = $$$$=12\pi\alpha^2\int_{0}^{\pi/2}\sin^4 t \cdot \cos t {dt} = 12\pi\alpha^2\frac{\sin^5 t}{5}\mid_{0}^{\pi/2} = \frac{12}{5}\pi\alpha^2;$$ б) за формулою: $$P_x = 2\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho\sin\varphi\sqrt{\rho^2(\varphi)+\rho'^2(\varphi)}{d\varphi},$$ маючи на увазі, що \(\rho= \alpha\sqrt{\cos 2 \varphi}, \;\rho' =- \frac{\alpha\sin 2\varphi}{\sqrt{\cos 2 \varphi}}\) $$P_x = 2\cdot 2\pi\int_{0}^{\pi/4}\alpha\sqrt{\cos2\varphi}\cdot \sin\varphi\cdot \sqrt{\alpha^2\cos2\varphi+\frac{\alpha^2\sin^2 2\varphi}{\cos 2 \varphi}}{d\varphi} = $$$$=2\cdot 2\pi\cdot \alpha^2\int_{0}^{\pi/4}\sin \varphi{d\varphi}= 4\pi\alpha^2(-\cos\varphi)\mid _{0}^{\pi/4} = 4\cdot \pi\alpha^2\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right).$$

---