Приклад № 1

Обчислити подвійний інтеграл $${\int \int}_{D} {\frac{x^2}{1+y^2}} dxdy,$$ де D - прямокутник \((0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1).\)
Розв'язання:
Область D (рис.1) є правильною як у напрямі осі Оу , так і осі Ох.

Тоді за формулою \({\int \int}_{D} f(x, y) dxdy=\int_{a}^{b}{dx}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}{f(x,y)dy}\) маємо: $${\int \int}_{D} {\frac{x^2}{1+y^2}} dxdy=\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{1}{\frac{x^2}{1+y^2}dy}=\int_{0}^{1}{x^2}dx\int_{0}^{1}{\frac{dy}{1+y^2}}=$$ $$=\left(\int_{0}^{1}{x^2}dx \right)\left( \arctan y \mid_{0}^{1}\right)=\frac{x^3}{3}\mid_{0}^{1}\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}.$$
Зауважимо, що у цьому прикладі внутрішній інтеграл має сталі межі інтегрування і тому він дорівнює сталій величині. У даному випадку подвійний інтеграл перетворився на добуток двох визначених інтегралів.