Пример 1. Найти предел
$$\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1+\ln x}{e^x-e}.$$
Числитель и знаменатель стремится к нулю при \(x\rightarrow 1\) , а потому имеет неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопитоля, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций :
$$\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1+\ln x}{e^x-e}=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{2x+1/x}{e^x}=\frac{3}{e}.$$
Пример 2. Найти предел
$$\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x-\sin x}{x^3}.$$
Это неопределенность вида 0/0. Имеем
$$\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6},$$
так как \(\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\sin x}{x}=1\) . Здесь правило Лопиталя применено дважды.
Пример 3. Найти предел
\(\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^n}{e^x}\), если \(n\) - целое положительно число.
Это - неопределенность вида \(\infty/\infty\) . Применим правило Лопиталя \(n\) раз :
$$\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^n}{e^x}=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{nx^{n-1}}{e^x}=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{n(n-1)x^{n-2}}{e^x}=...=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{n(n-1)(n-2)...1}{e^x}=0.$$
Пример 4. Найти предел
$$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{xe^{x/2}}{x+e^x}$$
В данном случае так же имеет место неопределенность вида \(\infty/\infty\). Находим
$$\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{xe^{x/2}}{x+e^x}=\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{e^{x/2}(1+\frac{x}{2})}{1+e^x}=\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2}e^{x/2}(2+\frac{x}{2})}{e^x}=$$
$$=\frac{1}{2}\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{2+\frac{x}{2}}{e^{x/2}}=\frac{1}{2}\lim _{x\rightarrow \infty}\frac{1/2}{(1/2)e^{x/2}}=0.$$
Пример 5. Найти предел \(\lim _{x\rightarrow 0}(x^2\ln x).\)
Здесь мы имеем неопределенность вида \(0\cdot \infty.\) Представим произведение функций в виде частного, а затем, получив неопределенность вида \(\infty/ \infty\) , применим правило Лопиталя :
$$\lim _{x\rightarrow 0}(x^2\ln x)=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln x}{1/x^2}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1/x}{-2/x^3}=-\frac{1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}x^2=0.$$
Пример 6.Найти предел \(\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)^{\ln x}.\)
Это неопределенность вида \(1^\infty\) . Логарифмируя и применяя правило Лопиталя, полчим
$$\lim _{x\rightarrow 0}\ln y=\lim _{x\rightarrow 0}(\ln x\ln (1+x))=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{1/\ln x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1/(1+x)}{-1/(x\ln ^2x)}=$$
$$=-\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\ln ^2x}{x+1}=-\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln ^2x}{1+1/x}=-\lim _{x\rightarrow 0}\frac{(2\ln x)/x}{-1/x^2}=2\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln x}{1/x}=2\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1/x}{-1/x^2}=0.$$
Таким образом, \(\lim _{x\rightarrow 0}y=e^0=1.\)
Пример 7. Найти предел \(\lim _{x\rightarrow \infty}(\sin x)^x.\)
Это неопределенность вида \( 0^0\) . Обозначив данную функцию через \(y\) , т.е. \(y=(\sin x)^x\) , и прологарифмируем ее:
$$\ln y=x\ln \sin x=\frac{\ln \sin x}{1/x}.$$
Вычислив предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность вида \(\infty/\infty\) :
$$\lim _{x\rightarrow 0}\ln y=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln \sin x}{1/x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\cos x/ \sin x}{-1/x^2}=$$
$$=-\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos x}{\sin x}=-\lim _{x\rightarrow 0}(x\cdot \cos x\cdot \frac{x}{\sin x)}=0.$$
Следовательно, \(\lim _{x\rightarrow 0}y=e^0=1.\)
