Пример 1. Найти
$$\lim_{x \to 0}\frac{2e^x-2-2x-x^2}{x-\sin x}.$$
Решение.Заменив \(2e^x\) и \(\sin x\) их разложениями в степенные ряды, получим
$$\lim_{x \to 0}\frac{2e^x-2-2x-x^2}{x-\sin x}=\lim_{x \to 0}\frac{2(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...)-2-2x-x^2}{x-(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)}=$$
$$=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{2x^3}{3!}+\frac{2x^4}{4!}+...}{\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+...}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{2}{3!}+\frac{2x}{4!}+...}{\frac{1}{3!}-\frac{x^2}{5!}+...}=2.$$
Пример 2. Найти
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-\arctan x}{x^3}.$$
Решение.Используя разложения \(\sin x\) и \(\arctan x\) в степенные ряды, имеем
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-\arctan x}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...-x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5!}+...}{x^3}=$$
$$\lim_{x \to 0}\left[(\frac{1}{3}-\frac{1}{3!}-(\frac{1}{5}-\frac{1}{5!})x^2+... \right] =\frac{1}{6}.$$
Пример 3. Вычислить \(\int_{0}^{1/2}{\frac{1-\cos x}{x^2}dx}\) с точностью до 0,0001.
Решение.Заменив в подинтегральном выражении \(\cos x\) его разложением в степенной ряд, получим
$$\int_{0}^{1/2}{\frac{1-\cos x}{x^2}dx}=\int_{0}^{1/2}{\frac{1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}-...}{x^2}dx}=$$
$$\int_{0}^{1/2}{(\frac{1}{2!}-\frac{x^2}{4!}+\frac{x^4}{6!}-...)dx}=\left[\frac{1}{2!}x-\frac{x^3}{4!\cdot 3}+\frac{x^5}{6!\cdot 5}-... \right]_0^{1/2}=$$
$$=\frac{1}{2!\cdot 2}-\frac{1}{4!\cdot 3\cdot 2^3}+\frac{1}{6!\cdot 5\cdot 2^5}-...\approx 0,25-0,0017=0,2483.$$
Пример 4. Вычислить \(\int_{0}^{0,1}{\frac{\ln (1+x)}{x}dx}\) с точностью 0,001.
Решение:
$$\int_{0}^{0,1}{\frac{\ln (1+x)}{x}dx}=\int_{0}^{0,1}{\frac{x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+...}{x}dx}=$$
$$=\int_{0}^{0,1}{(1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x^3+...)dx}=\left[x-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{9}x^3-\frac{1}{16}x^4+... \right]_0^{0,1}=$$
$$=0,1-\frac{1}{4}\cdot 0,01+\frac{1}{9}\cdot 0,001-...\approx 0,098.$$
Пример 5. Вычислить \(\int_{0}^{1}{e^{-x^2}dx}\) с точностью до 0,001.
Решение:
$$\int_{0}^{1}{e^{-x^2}dx}=\int_{0}^{1}{(1-\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+...)dx}=$$
$$=\left[x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{2\cdot 5}-\frac{x^7}{6\cdot 7}+\frac{x^9}{24\cdot 9}-\frac{x^11}{120\cdot 11}+... \right]_0^1=$$
$$=1-0,3333+0,1000-0,0238+0,0046-0,0008+...=0,747.$$
