Вычислить поток вектора $$F=xy^{2}\vec{i}+\vec{j}+x^{2}z\vec{k}$$ через часть параболоида вращения $$z=x^{2}+y^{2}$$ вырезанную цилиндром $$x^{2}+y^{2}=4.$$ Решение. Поток исчисляется по формуле: $$Q=\int \int_{Sxy}{(-\frac{\partial F}{\partial x}X-\frac{\partial F}{\partial y}Y+Z)dxdy}.$$ Тогда мы имеем: $$\int \int_{Sxy}{(-2xyxy^{2}-2y\frac{yz}{2}+x^{2}z)dxdy}=$$ $$=\begin{vmatrix} x=rcos\varphi , 0\leq \varphi \leq 2\pi & \\ y=rsin\varphi , 0\leq r\leq 2 & \end{vmatrix} =$$ $$=\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{2}{(-2r^{4}cos^{2}\varphi sin^{2}\varphi +r^{4}(cos^{2}\varphi -sin^{2}\varphi ))rdr}=$$ $$=\int_{0}^{2\pi }{(-2cos^{2}\varphi sin^{2}\varphi +cos^{2}\varphi -sin^{2}\varphi )d\varphi}\int_{0}^{2}{r^{5}dr}=$$ $$=\frac{32}{3}\int_{0}^{2\pi }{(-\frac{1}{2}sin^{2}2\varphi +cos2\varphi )d\varphi }=$$ $$=-\frac{16}{3}\int_{0}^{2\pi }{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4\varphi )d\varphi }=$$ $$-{\frac{16}{3}}\pi $$ Ответ: $$Q=-\frac{16}{3}\pi$$ .