Задача 1. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=x^m.\)
Решение.
\(y'=mx^{m-1};\)
\(y''=m(m-1)x^{m-2};\)
\(y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}.\)

Здесь нетрудно усмотреть закономерность, которая состоит в следующем:
1) число множителей перед \(x\) равно порядку производной;
2) первый множитель равен показателю степени \(m\), а каждый следующий — на единицу меньше;
3) в последнем множителе из \(m\) вычитается число, на единицу меньшее порядка производной;
4) показатель степени буквы \(x\) равен \(m\) минус порядок производной. Полагая, что для производной порядка \(n\) эта закономерность сохраняется, получаем

$$y^{(n)}=m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n}.$$

Задача 2. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=a^x.\)
Решение.
\(y'=a^x\ln a;\)
\(y''=a^x(\ln a)^2;\)
\(y^{(3)}=a^x(\ln a)^3;\)
\(y^{(4)}=a^x(\ln a)^4.\)

Здесь уже нетрудно подметить, что каждая из найденных производных равна произведению \(a^x\) на \(\ln a\) в степени, равной порядку производной. Полагая, что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем \(y^{(n)}=a^x(\ln a)^n.\)

Задача 3. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=e^x.\)
Решение. \(y'=e^x;\; y''=e^x;\; y^{(3)}=e^x;\; ... ;\; y^{(n)}=e^x.\)

Задача 4. \(y^{(n)}\) Найти функции \(y=\ln x.\)
Решение.
\(y'=\frac{1}{x}=(-1)^0 \cdot \frac{1}{x};\)
\(y''=-\frac{1}{x^2}=(-1)^1 \cdot \frac{1}{x^2};\)
\(y^{(3)}=\frac{2}{x^3}=(-1)^2 \cdot \frac{1 \cdot 2}{x^3};\)
\(y^{(4)}=-\frac{2 \cdot 3x^2}{x^6}=-\frac{2 \cdot 3}{x^4}=(-1)^3 \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}.\)

Усмотрим закономерность, по которой составлена каждая из этих производных:
1) все производные содержат множителем число \(-1\) в степени, которая на единицу меньше порядка производной;
2) числитель дроби есть произведение натуральных чисел, начиная с единицы и кончая числом, на единицу меньшим порядка производной;
3) знаменатель дроби есть \(x\) в степени, равной порядку производной.
Считая, что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем

$$y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1)}{x^n}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n};$$

по этой формуле, например, \(y^{(7)}=(-1)^6\frac{6!}{x^7}.\)

Задача 5. Найти \(y^{(n)}\) функции \(y=\sin x.\)
Решение.
\(y'=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \right);\)
\(y''=-\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \cdot 2\right);\)
\(y^{(3)}=-\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \cdot 3\right);\)
\(y^{(4)}=\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi }{2} \cdot 4\right).\)

Легко усматривается закономерность, по которой образованы все эти производные: у каждой из них под знаком синуса к \(x\) прибавляется произведение \(\frac{\pi }{2}\) на порядок производной. Считая что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем, что \(y^{(n)}=\sin\left(x+n \cdot \frac{\pi }{2} \right).\)