Задача
Определить расстояние от точки \(M\) до прямой \(Ax+By+C=0\), не пользуясь нормальным уравнением прямой.
Решение
Задача сводится к определению расстояния между точками \(M(x_{0};y_{0})\) и \(N\), где \(N\) - основание перпендикуляра, опущенного из точки \(M\) на данную прямую. Составим уравнение прямой \(MN\). Так как угловой коэффициент равен \(-A/B\), то угловой коэффициент прямой \(MN\) равен \(B/A\) ( из условия перпендикулярности) и уравнение последней имеет вид \(y-y_{0}=(B/A)(x-x_{0})\). Это уравнение может быть переписано в виде \((x-x_{0})/A=(y-y_{0})/B\).
Для определения координат точки \(N\) решим систему уравнений
$$
\cases
{
Ax+By+C=0
\cr
(x-x_{0})/A=(y-y_{0})/B
}
$$
Введем вспомогательную неизвестную \(t\):
$$ (x-x_{0})/A=(y-y_{0})/B=t.$$
Тогда \(x=x_{0}+At, y=y_{0}+Bt\). Подставив эти выражения в уравнение данной прямой, получим \(A(x_{0}+At)+B(y_{0}+Bt)+C=0\), откуда
$$t=-(Ax_{0}+By_{0}+C)/(A^{2}+B^{2}).$$
Подставив теперь значение \(t\) в уравнения \(x=x_{0}+At, y=y_{0}+Bt\), определим координаты точки \(N\):
$$x=x_{0}-A\frac{Ax_{0}+By_{0}+C}{A^{2}+B^{2}}, y=y_{0}-B\frac{Ax_{0}+By_{0}+C}{A^{2}+B^{2}}.$$
Остается определить расстояние между точками \(M\) и \(N\):
$$d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=$$
$$=\sqrt{\left( A\frac{Ax_{0}+By_{0}+C}{A^{2}+B^{2}}\right)^2+\left( B\frac{Ax_{0}+By_{0}+C}{A^{2}+B^{2}}\right)^2}=$$
$$=\frac{\left|Ax_0+By_0+C \right|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$
