Задача
Решить систему уравнений
$$
\cases{
3x+2y+z=5, \\
x+y-z=0, \\
4x-y+5z=3.
}
$$
Решение
Преобразуем матрицу в эквивалентную:
$$\left(
\matrix{
3 & 2 & 1&|&5&|&11\\
1 & 1 & -1&|&0&|&1\\
4 & -1 & 5&|&3&|&11
}\right) \sim
\left(
\matrix{
1 & 1 & -1&|&0&|&1\\
3 & 2 & 1&|&5&|&11\\
4 & -1 & 5&|&3&|&11
}\right)$$
(для упрощения вычислений мы поменяли местами первое и второе уравнения).
Вычитаем из остальных двух строк 1-ю строку, умноженную на 3 и на 4:
$$\left(
\matrix{
1 & 1 & -1&|&0&|&1\\
0 & -1 & 4&|&5&|&8\\
0 & -5 & 9&|&3&|&7
}\right).$$
Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й:
$$\left(
\matrix{
1 & 1 & -1&|&0&|&1\\
1 & 1 & -4&|&-5&|&-8\\
0 & 0 & -11&|&-22&|&-33
}\right) \sim
\left(
\matrix{
1 & 1 & -1&|&0&|&1\\
0 & 1 & -4&|&-5&|&-8\\
0 & 0 & 1&|&2&|&3
}\right)$$
(мы разделили на -11 последнюю строку).
Система уравнений приняла треугольный вид:
$$
\cases{
x+y-z=0, \\
y-4z=-5, \\
z=2.
}
$$
Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем \(z=2\); подставляя это значение во второе уравнение, получаем \(y=3\) и, наконец, из первого уравнения находим \(x=-1\).
x-y=1