Задание Найти сложный интеграл \[ \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} \]
Решение Введем универсальную тригонометрическую замену :
\[ \sin x = \frac{2t}{1+t^{2}} \text{ };\text{ } \cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \text{ };\text{ } dx = \frac{dt}{1+t^{2}} \]
Подставляя это все в исходный интеграл, получим
\[ \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \int \frac{\frac{dt}{1+t^{2}}}{2 \cdot \frac{2t}{1+t^{2}} + 3 \cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} + 3} = 2 \int \frac{dt}{4t + 3 (1-t^{2})+3(1+t^{2})} = \] \[ = 2 \int \frac{dt}{4t+3-3t^{2}+3+3t^{2}} = 2 \int \frac{dt}{4t+6} = \frac{2}{2} \int \frac{dt}{2t+3} = \int \frac{dt}{2t+3} \]
Внесем под знак дифференциала 2t+3 :
\[ \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \int \frac{dt}{2t+3} = \frac{1}{2} \int \frac{d(2t+3)}{2t+3} = \frac{1}{2} \ln |2t+3| + C \]
Делая обратную замену, окончательно получим:
\[ \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \frac{1}{2} \ln |2t+3| + C = \frac{1}{2} \ln \left| 2 \text{tg }\frac{x}{2} + 3 \right| + C \]
