1. Задание: Решить уравнение $$5 - 5 \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 0$$
Решение: Запишем данное уравнение в виде и разделим обе части на 5
$$5 \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 5$$
$$\text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 1$$
Воспользуемся формулами приведения, получим
$$\text{tg } \left( \pi - \frac{\pi}{3} -4x \right) = 1$$
$$\text{tg } \left( \pi - \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) \right) = 1$$
$$- \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) = 1$$
$$\text{tg } \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) = -1$$
Применяя к последнему равенству формулу $$x = \text{arcctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
получим:
$$\frac{\pi}{3} + 4x = \text{arcctg } (-1) + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$\frac{\pi}{3} + 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$4x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$4x = -\frac{7\pi}{12} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$4x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$x = \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi k}{4} \text{ },\text{ } k \in Z$$
Ответ:$$x = \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi k}{4} \text{ },\text{ } k \in Z$$
2. Задание: Решить уравнение $$\cos x = \frac{1}{2}$$
Решение: Это элементарное тригонометрическое уравнение. Используя формулу корней такого уравнения
$$x = \pm \arccos a + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z ,$$
получим
$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
