Пример 5. Решить уравнение $$cos 4x cos 2x = cos 5x cos x.$$
Представим произведения в виде
$$cos 4x cos 2x = \frac{1}{2} (cos 6x + cos 2x);$$
$$cos 5x cos x = \frac{1}{2} (cos 6x + cos 4x).$$
Тогда данное уравнение можно переписать в виде:
$$\frac{1}{2} (cos 6x + cos 2x) = \frac{1}{2} (cos 6x + cos 4x)$$
Отсюда
$$cos 2x = cos 4x$$
$$cos 2x - cos 4x = 0;$$
$$- 2 sin 3x • sin (- x) = 0;$$
$$2 sin 3x • sin x = 0.$$
Поэтому либо sin х = 0 и тогда х = nπ. либо sin 3х = 0 и тогда 3x = kπ, x = kπ/3.
Ответ: $$x = \frac{m\pi }{3}$$
Пример 6. Решить уравнение $$sin^2 2x + sin^2 x = 1.$$
Из тождества $$1 - cos a = 2 sin^2 \frac{a}{2}$$
вытекает, что $$sin^2 2x=\frac{1-cos4x}{2}; sin^2x =\frac{1-cos2x}{2}$$
Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:
$$\frac{1-cos4x}{2}+\frac{1-cos2x}{2}$$
откуда $$cos 4х + cos 2x = 0.$$
Это уравнение легко решается с помощью формулы для суммы косинусов двух углов, из которой получаем:
$$2 cos 3x • cos x = 0.$$
Если cos х = 0, то $$x = \frac{\pi }{2} + n\pi$$
если же cos 3x = 0, то $$x = \frac{\pi }{6} + \frac{k\pi }{3}.$$
