Пример 1: Решить уравнение $$4cos^4x-4cos^2x+1=0.$$
Решение:
Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!
$$t=cos^2x$$
Тогда наше уравнение превратится вот в такое:
$$4t^2-4t+1=0$$
$$(2t-1)^2=0$$
$$t=\frac{1}{2}$$
Тогда
$$cos^2x=\frac{1}{2}$$
Отсюда
$$cos x=\frac{\sqrt2}{2};\; cos x =-\frac{\sqrt2}{2}$$
Первое уравнение имеет корни:
$$x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$$
А второе вот такие:
$$x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n$$
Пример 2: Решить уравнение $$6sin^2x+sin2x=2$$
Решение:
Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна.
Можем, например, представить
$$sin2x=2sinxcosx$$
Тогда уравнение примет вид:
$$6sin^2x+2sinxcosx=2sin^2x+2cos^2x$$
$$4sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=0$$
$$2sin^2x+sinxcosx-cos^2x=0$$
Давайте разделим обе части уравнения на cos2x:
$$2\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{sinxcosx}{cos^2x}-\frac{cos^2x}{cos^2x}=0$$
$$2tg^2x+tgx-1=0$$
Отсюда:
$$tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$
Или
$$tg x=\frac{1}{2}$$
$$x=arctg\frac{1}{2}+\pi n$$
