Уравнение теплопроводимости для нестационарного случая
Обозначим через u=u(Mt,t) температуру в точке M однородного тела, ограниченного поверхностью S в момент времени t. Известно, что количество теплоты dQ поглащаемой телом за время dt ,выражается равенством
dQ=k\cdot \frac{\partial u}{\partial n}dSdt,
где dS - элемент поверхности, k - так называемый коэфициент внутренней теплопроводности, \frac{\partial u}{\partial n} - производная функции u по направлению внешней нормали к поверхности S
Пример 1. Решить уравнение \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\cdot \frac{\partial ^u}{\partial x^2} для следующего начального распределения температуры стержня:
u(x,t)\mid _{t=0}=f(x)=\begin{cases} & \text{ } u;x\in [x_1,x_2] \\ & \text{ } 0; \end{cases}
Стержень является бесконечным, поэтому решение запищется в виде интеграла Пуассона:
u(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt {\pi t}}\cdot \int_{-\infty }^{+\infty }{f(\xi )\cdot e^{-(\xi -x)^2/(a^2t)}d\xi}.
Так как f(x) в интервале [x_1,x_2] равна постоянной температуре u_0 , а вне интервала температура равна нулю, то решение примет вид
u(x,t)=\frac{u_0}{2a\sqrt {\pi t}}\cdot \int_{-\infty }^{+\infty }{e^{-(\xi -x)^2/(a^2t)}d\xi}.
Полученый результат можно преобразовать к интервалу вероятностей.
\Phi (z)=\frac{2}{\sqrt \pi }\int_{0}^{z}{e^{-\mu ^2}d\mu }.
Действительно, полагая
x-\xi/(2a\sqrt y)=\mu ,d\xi =-2a\sqrt t\cdot d\mu,
получим
u(x,t)=-\frac{u_0}{\sqrt \pi }\int_{(x-x_1)/(2a\sqrt \pi )}^{(x-x_2)/(2a\sqrt \pi )}{e^{-\mu ^2}d\mu }=
=\frac{u_0}{\sqrt \pi }\int_{0}^{(x-x_1)/(2a\sqrt \pi )}{e^{-\mu ^2}d\mu }-\frac{u_0}{\sqrt \pi }\int_{0}^{(x-x_2)/(2a\sqrt \pi )}{e^{-\mu ^2}d\mu}.
Таким образом, решение выразится формулой
u(x,t)=\frac{u_0}{2}[\Phi (\frac{x-x_1}{2a\sqrt t})-\Phi (\frac{x-x_2}{2a\sqrt t})].
Графиком функции \Phi (z) является кривая, изображенная на рисунке.
Пример 2. Найти решение уравнения \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2}{\partial x^2} удовлетворяющих начальному условию u\mid _{t=0}=f(x)=u_0, и краевому условию u\mid _{x=0}=0.
Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, иммет вид
u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt {\pi t}}\int_{0}^{\infty }{u_0[e^{-(\xi -x)^2/(4t)}-e^{-(\xi +x)^2/(4t)}]}d\xi ,
или
u(x,t)=\frac{u_0}{2\sqrt {\pi t}}\int_{0}^{\infty }{[e^{-(\xi -x)^2/(4t)}-e^{-(\xi +x)^2/(4t)}]}d\xi .
Полагая x-\xi /(2\sqrt t)=\mu , d\xi =-2\sqrt td\mu, преобразуем первый интеграл, пользуясь интегралом вероятностей, т.е.
\frac{u_0}{2\sqrt {\pi t}}\int_{0}^{\infty }{e^{-(\xi -x)^2/(4t)}}d\xi=\frac{u_0}{\sqrt {\pi }}\int_{-\infty }^{x/(2\sqrt t)}{e^{-\mu }d\mu }=\frac{u_0}{2}{[1+\Phi (\frac{x}{2\sqrt t})]}.
Полагая x+\xi /(2\sqrt t)=\mu , d\xi =2\sqrt td\mu, получим
\frac{u_0}{2\sqrt {\pi t}}\int_{0}^{\infty }{e^{-(\xi +x)^2/(4t)}}d\xi=\frac{u_0}{\sqrt {\pi }}\int_{x/(2\sqrt t) }^{+\infty }{e^{-\mu }d\mu }=\frac{u_0}{2}{[1-\Phi (\frac{x}{2\sqrt t})]}.
Таким образом, решение принимат вид u(x,t)=u_0\cdot \Phi (\frac{x}{2\sqrt t}).
2012-12-17 • Просмотров [ 3114 ]
