Задание: Решить задачу Коши:

\[x^{2}ydx+y^{3}xdy=0\]

с даными условиями \[y(0)=1\]

Решение:

Приведем уравнение к уравнению с разделёнными переменными поделив на x и на y:

\[xdx+y^{2}dy=0\]

Проинтегрируем обе части полученного уравнения и получим общий интеграл:

\[\int xdx +\int y^{2}dy=\int 0dc\] \[\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{2}=C\]

Для получения общего решение выразим y через х:

\[\frac{y^{3}}{3}=C-\frac{x^{2}}{2}\] \[y^{3}=3\left(C-\frac{x^{2}}{2}\right)\] \[y=\sqrt[3]{3\left(C-\frac{x^{2}}{2}\right)}\]

Подставим данные нам условия в уравнение для нахождения С :

\[1=\sqrt[3]{3C}\] \[С=\frac{1}{3}\]

Ответ:

\[y=\sqrt[3]{ 3\left(\frac{1}{3}-\frac{x^{2}} {2}\right)}\]

---