Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні Р в точці М :
а) \(P: x^2+2y^2-3z^2+xy+yz-2xz+16=0,\; M(1,2,3);\)
б) \(P: z=x^2-2xy+y^2-x+2y,\; M(1,1,1).\)
Розв'язання:
а) позначимо через \(F(x,y,z)\) ліву частину рівняння поверхні \(P:\) $$F(x,y,z) = x^2+2y^2 -3z^2+xy+yz-2xz+16.$$ Знайдемо частинні похідні і їх значення в точці \(M(1,2,3):\) $$F'_x(x,y,z) = 2x+y-2z,\; F'_x(1,2,3)=-2,$$ $$F'_y(x,y,z)=4y+x+z, \; F'_y(1,2,3)=12,$$ $$F'_z(x,y,z)=-6x+y-2x, \; F'_z(1,2,3)=-18.$$
Для написання рівнянь дотичної площини та нормалі до поверхні використаємо формули:
- рівняння дотичної площини в точці \(М_0(x_0,y_0,z_0)\) $$F'_x(M_0)(x-x_0)+F'_y(M_0)(y-y_0)+F'_z(M_0)(z-z_0)=0$$
- рівняння нормалі $$\frac{x-x_0}{F'_x(M_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(M_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(M_0)}=0$$
Рівняння дотичної площини в точці \(M(1,2,3):\) $$-2(x-1)+12(y-2)-18(z-3)=0$$ або $$x-6y+9z-16=0.$$
Рівняння нормалі в точці \(M(1,2,3):\) $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-3}{9}.$$
б) згідно з умовою \(P: z=x^2-2xy+y^2-x+2y.\)
Тут \(f(x,y)=x^2-2xy+y^2-x+2y.\)
Знайдемо частинні похідні цієї функції і їх значення в точці \(M(1,1,1):\) $$f_x(x,y)=2x-2y-1,\; f'_x(1,1)=-1;$$ $$f_y(x,y)=-2x+2y+2,\; f'_y(1,1)=2.$$
Використовуючи формули:
- рівняння дотичної площини в точці \(М_0(x_0,y_0,z_0)\) $$f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0$$
- рівняння нормалі $$\frac{x-x_0}{f'_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f'_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{(-1)}=0.$$
Рівняння дотичної площини в точці \(M(1,1,1):\) $$(-1)(x-1)+2(y-1)-(z-1)=0$$ або $$x-2y+z=0.$$
Рівняння нормалі в точці \(M(1,1,1):\) $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{1}.$$

---