Розкласти функцію:
$$f(z)=\sqrt{\frac{1}{(z-2)(z-3)}}$$
в ряд Лорана у вказаних кільцях \(2<|z|<3\)
Розв'язання:
Представимо задану функцію у вигляді:
$$f(z)=\sqrt{\frac{1}{(z-2)(z-3)}}=\frac{1}{(z-3)}-\frac{1}{(z-2)}.$$
$$\frac{1}{(z-3)}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}=-\frac{1}{3}\left(1+\frac{z}{3}+\frac{z^2}{3^2}+\frac{z^3}{3^3}+...+\frac{z^n}{3^n}+... \right),\;|z|<3,$$
$$\frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{z\left(1-\frac{2}{z} \right)}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{2}{z}+\frac{2^2}{z^2}+\frac{2^3}{z^3}+...+\frac{2^n}{z^n}+... \right)=$$
$$=\frac{1}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{2^2}{z^3}+\frac{2^3}{z^4}+...+\frac{2^{n-1}}{z^n}+... , \; |z|>2.$$
Отже,
$$f(z)=-\sum_{n-1}^{\infty}{\frac{2^{n-1}}{z^n}-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{z}{3} \right)^n}},\;2<|z|<3.$$
