Розв'язати рівняння $$yy''-(y')^2=6xy^2$$
Розв'язання:
Задане рівняння однорідне відносно функції та її похідних, бо функція $$F(x,y,y',y'')=yy''-(y')^2-6xy^2$$
є однорідною функцією 2-го виміру відносно \(у, у', у"\) , тобто $$F(x,ty,ty',ty'')=ty\cdot ty''-(ty')^2-6xt^2y^2=t^2(yy''-(y')^2-6xy^2)=$$ $$=t^2F(x,y,y',y'').$$
Тому застосуємо заміну $$y=e^{\int zdx},$$
тоді $$y'=ze^{\int zdx},\;y''=e^{\int zdx}(z^2+z').$$
Підставимо ці вирази у задане рівняння і отримаємо $$e^{\int zdx}e^{\int zdx}(z^2+z')-(e^{\int zdx}\cdot z)^2=6x(e^{\int zdx})^2.$$
або, після перетворень, $$z'=6x$$
Звідки, інтегруючи, маємо $$z=3x^2+C_1.$$
Отже, $$y=e^{\int (3x^2+C_1)dx}$$
або $$y=С_2e^{x^{3}+C_1x} .$$

---