Последовательная замена переменной и интегрирование по частям. Задача:Найти неопределенный интеграл: $$\int\arctan(\sqrt[3]{6x-1})dx=(*)$$ Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной. Проведем замену: $$6x-1=t^{3}\Rightarrow6dx=3t^{2}dt\Rightarrow1dx=\frac{1}{2}t^2dt,$$ $$(*)=\frac{1}{2}\int(t^{2}\arctan(t))dt=(*).$$ В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям: $$u=\arctan(t)\Rightarrow du=\frac{dt}{t^{2}+1},$$ $$dv=t^{2}dt\Rightarrow v=\frac{t^{3}}{3},$$ $$\int udv =uv-\int vdu$$ $$(*)=\frac{1}{2}\left( \frac{t^{3}arctant}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{t^{3}dt}{t^{2}+1}\right)=\frac{1}{6}\left( t^{3}arctant-\int \frac{t(t^{2}+1)-t}{t^{2}+1}dt\right)=$$ $$=\frac{1}{6}\left( t^{3}arctant-\int\left(t-\frac{t}{t^{2}+1}\right) dt \right)=\frac{1}{6}\left( t^{3}arctant-\int tdt + \frac{1}{2}\int \frac{d(t^{2}+1)}{t^{2}+1}\right)=$$ $$=\frac{1}{6}\left( t^{3}arctant-\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{2}ln(t^{2}+1)\right) +C=$$ $$=\frac{1}{6}\left( (6x-1)arctan(\sqrt[3]{6x-1})-\frac{\sqrt[3]{(6x-1)^{2}}}{2}+\frac{1}{2}ln(\sqrt[3]{(6x-1)^{2}}+1)\right) +C,$$ где $$C=const.$$
