Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Под событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти.

События будем обозначать буквами \(A,B,C,...\). Если событие неизбежно произойдет при каждой реализации комплекса условий, то оно называется достоверным; если же оно не может произойти — невозможным.

Если событие \(A\) при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий \(A\) и \(B\), будем называть суммой (<объединением) событий \(A\) и \(B\) и обозначать А-\-В или \(A\cup B\).

Событие, состоящее в наступлении обоих событий \(A\) и \(B\), будем называть произведением (совмещением) событий \(A\) и \(B\) и обозначать \(AB\) или \(A\cap B\).

События называются несовместными, если появление одного из них иcключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пусть, например, нас интересует появление определенного числа очков на грани при одном бросании игральной кости: \(i=1,2,3,4,5,6.\) Выпадение конекретного числа очков назовем элементарным событием (исходом), которое обозначим \(\omega _i\). Таким образом, для каждого связанного с этим опытом события А можно выделить совокупность тех элементарных исходов со, наступление ко¬торых влечет за собой наступление события \(A\).

Пусть событие \(A\) состоит в появлении нечетного числа очков на грани. Этому событию благоприятствуют элементарные события \(\omega _1,\omega _3,\omega _5,\) т. е. некоторое подмножество множества всех элементарных исходв \(\omega _1,\omega _2,\omega _3,\omega _4,\omega _5,\omega _6.\)

Совокупность элементарных событий обозначается \(\Omega\) и называется пространством элементарных событий.

Элементарные события взаимно исключают друг друга и в результате данного опыта обязательно произойдет одно из них. Пространство элементарных событий образует так называемую полную группу попарно несовместных событий, так как появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Вероятностью события \(A\) называют отношение числа \(m\) исходов, благоприятствующих этому событию, к числу \(n\) всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

\(P(A)=m/n.\)

Пример 1. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Решение. Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию \(A\) , равно числу всех возможных случаев, т.е. \(m=n=10\) и \(P(A)=1\). В этом случае событие \(A\) достоверно.

Пример 2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. Синих шаров в урне нет, т.е. \(m=0\), а \(n=15\). Следовательно, \(P(A)=m/n=0/15=0.\). В данном случае событие \(A\) — невозможное.

Пример 3. Внутри эллипса \(x^2/25+y^2/16=1\) расположен круг \(x^2+y^2=9\). Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.

Решение. Пусть событие \(A\) - попадание точки в кольцо. Тогда \(P(A)=S_{kol}/S{el}\), где \(S_{kol}=S_{el}-S_{kruga}=\pi ab-\pi r^2\) . Так как \(a=5,b=4,r=3\) , то

\(P(A)=(20\pi -9\pi )/(20\pi )=11/20=0,55.\)

Примечание. В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если вероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом зке определении вероятности обратное утверждение не имеет места. Вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области \(G\) равна нулю, однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.

2012-12-18 • Просмотров [ 5940 ]