Задача 1
Найти частное решение некоторого дифференциального уравнения, если его общее решение имеет вид \(y=C_1\cos\alpha x + C_2\sin\alpha x\) и \(y(0)=1,\: y'(0)=1.\)
Решение. Дважды дифференцируя \(y\) по \(x\), легко находим соответствующее дифференциальное уравнение:
$$y''+\alpha ^2y=0.$$
Для отыскания частного решения этого уравнения следует воспользоваться начальными условиями, чтобы найти постоянные \(C_1\) и \(C_2\). Имеем
$$y(0)=(C_1\cos\alpha x + C_2\sin\alpha x) )\big|_{x=0}=C_1=1,\; y'(0)=\alpha (-C_1\sin\alpha x + C_2\cos\alpha x)\big|_{x=0}=\alpha C_2=0.$$
Итак, \(C_1=1, C_2=0, y=\cos\alpha x\) — частное решение.
Задача 2
Найти частное решение дифференциального уравнения, если его общее решение имеет вид
$$y=C_1+C_2\ln x+C_3x^3$$
и удовлетворяет следующим начальным условиям:
$$y(1)=1,\: y'(1)=0,\: y''(1)=2.$$
Решение. Исходя из условий примера, имеем
$$y(1)=( C_1+C_2\ln x+C_3x^3)\big|_{x=1}=1;\; y'(1)=\left(\frac{C_2}{x}+3C_3x^2 \right)\big|_{x=1}=0;\; y''(1)=\left(-\frac{C_2}{x^2}+6C_3x \right)\bigg|_{x=1}=2.$$
Отсюда находим, что \(C_1=-\frac{2}{9}, C_2=-\frac{2}{3}, C_3=\frac{2}{9}.\) Осталось записать частное решение:
$$y=-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}\ln x+\frac{2}{9}x^3.$$
Задача 3
Пусть некоторое частное решение удовлетворяет задаче Коши
$$y'=x+y^2,\; y(0)=1.$$
Может ли оно удовлетворять другой задаче Коши
$$y''=1+2xy+2y^3,\; y(0)=1,\; y'(0)=1?$$
Решение. Если частное решение дважды непрерывно дифференцируемо, то из первой задачи Коши находим:
$$y''=1+2yy'=1+2y(x+y^2)=1+2xy+2y^3,$$
а также \(y'(0)=1.\) Следовательно, это возможно.
Задача 4
Пусть общее решение некоторого дифференциального уравнения имеет вид
$$y=C_1x + C_2e^x + C_3(x+x^2),\; -\infty < x < + \infty .$$
Может ли функция \(y=x+1\) быть частным решением этого уравнения?
Решение. Нет, не может, поскольку ни при каких значениях произвольных постоянных (в том числе и \(\pm \infty\)) из формулы общего решения получить ее нельзя.
