Приклад 1. Знайти область збiжностi степеневого ряду
$$\large \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}$$
Розв’язання. Оскiльки 
$$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|a_n \right|}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1$$
то заданий ряд збiгається абсолютно у колі |z| < 1. Якщо ж z є точка кола |z| = 1, то $$\large \frac{z^n}{n}=\frac{1}{n}$$ i ряд $$\large \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$$
складений з абсолютних величин розбiгається. Таким чином, точок абсолютної збiжностi на колi |z| = 1 немає. Очевидно також, що у точцi z = 1 ряд розбiгається. Доведемо, що для всiх
$$\large z\neq 1$$
у яких |z| = 1, заданий ряд збiгається. Справдi, оскiльки послiдовнiсть
$$\large \left( \frac{1}{n}\right)$$
 монотонно прямує до нуля, а послiдовнiсть часткових сум ряду $$\
\sum_{n=1}^{\infty}z^n$$
$$\large \left|\sum_{k=1}^{\infty}z^k \right|=\left|\frac{z-z^{n+1}}{1-z} \right|\leq \frac{\left|z \right|+\left|z \right|^{n+1}}{\left|1-z \right|}=\frac{2}{\left|1-z \right|}$$
для  \(\large z\neq 1\)  обмежена, то за ознакою Дiрiхле заданий ряд збiгається. Отже, областю збiжностi цього ряду є множина \(\large D=\left\{z \left|z \right|\leq 1,z\neq 1 \right\}\) 
 

---