Функциональный ряд вида

$$a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+...+a_n(x-a)^n+...,$$

где \(a,a_0,a_1,...,a_n\) - действительные числа, называется степенным.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при \(x=x_0\), то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении \(x\) , удовлетворяющем неравенству

$$\left|x-a \right|<\left|x_0-a \right| . $$

(теорема Абеля).

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости \(\left|x-a \right|<\left|R \right|\) , c центром в точке \(a\), внутри которого степенной ряд абсолютно сходитсяи вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках \(x=a\pm R\) ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обеех концах, другие - либо условно сходятся на обеех концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи - расходятся на обеех концах.

Число \(R\) - половины длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда \(R\) может быть равен нулю или бесконечности. Если \(R=0\), то степенной ряд сходится лишь при \(x=a\) ; если же \(R=\infty\), то ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

$$(x-2)+\frac{1}{2^2}(x-2)^2+\frac{1}{3^2}(x-2)^3+...+\frac{1}{n^2}(x-2)^n+...$$

Здесь \(a_n=1/n^2,a_{n+1}=1/(n+1)^2\) , имеем

$$R=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^2=1$$

Следовательно, ряд сходится если \(x\in \left(1;3 \right)\)

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если \(x=3\), то получаем ряд

$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...$$

который сходится, так как ряд

$$1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+...$$

сходится при \(p>1\) (на основании интегрального признака).

Если \(x=1\), то получаем ряд

$$-1+\frac{1}{2^p}-\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}-...$$

Этот ряд сходится (и причем абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Итак, степенной ряд сходится для значений \(x\) , удовлетворяющих \(x\in \left[1;3 \right]\).

Пример 2.Исследовать сходимость ряда

$$1!(x-5)+2!(x-5)^2+3!(x-5)^3+...+n!(x-5)^n+...$$

Здесь \(a_n=n!,a_{n+1}=(n+1)!\) , значит ,

$$R=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{1\cdot 2\cdot 3...n}{1\cdot 2\cdot 3...n(n+1)}=$$

$$=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}=0.$$

Ряд сходится только при \(x-5=0\), т.е. в точке \(x=5\).

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

$$2x^5+\frac{4x^10}{3}+\frac{8x^15}{5}+...+\frac{2^nx^{5n}}{2n-1}+...$$

Полагая \(x^5=t\) , получим ряд

$$2t+\frac{4t^2}{3}+\frac{8t^3}{5}+...$$

Здесь \(a_n=2^n/(2n-1), a_{n+1}=2^{n+1}/(2n+1).\) Находим радиус сходимости ряда

$$R=\lim_{n \to \infty}\frac{2^n(2n+1)}{2^{n+1}(2n-1)}=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{2n-1}=$$

$$=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}\frac{2+1/n}{2-1/n}=\frac{1}{2}.$$

Таким образом, ряд сходится, если \(\left|t \right|<1/2\) .

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если \(t=1/2\), то получаем ряд

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...$$

Этот ряд расходится (его можно сравнить с рядом

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}...$$

членами которого являются члены гармонического ряда, умноженные на 1/2) . При \(t=-1/2\) получаем ряд

$$-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-...$$

Этот ряд сходится условно. Следовательно, ряд \(2t+\frac{4t^2}{3}+\frac{8t^3}{5}+... \) сходится, если \(-1/2\leq t<1/2\) . Таким образом, заданный ряд сходится, если \(-1/2\leq x^5<1/2\).

2012-12-09 • Просмотров [ 22744 ]