ЗАДАНИЕ. Задана функция y=f(x) и два значения аргумента \(\large x_1,x_2\) . Установить: является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных аргументов; в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева и определить тип точки разрыва. $$\large f(x)=10^{\frac{1}{x-3}},x_1=3,5;x_2=3$$ РЕШЕНИЕ: Точка \(\large x_1=3,5\) В данной точке разрыва нет, \(\large f(3,5)=10^{\frac{1}{3,5-3}}=10^{\frac{1}{0,5}}=10^2=100.\) Точка \(\large x_2=3\) . Знаменатель обращается в нуль, значит, это точка разрыва. Вычислим пределы справа и слева: $$\large \lim_{x\rightarrow 3-0}10^{\frac{1}{(x-3)}}=10^{\frac{1}{(3-0)-3}}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0.$$ $$\large \lim_{x\rightarrow 3+0}10^{\frac{1}{(x-3)}}=10^{\frac{1}{(3+0)-3}}=e^{\frac{1}{+\infty}}=e^{+\infty}=\infty.$$ Один из пределов равен ∞ , значит \(\large x_2=3\)- точка разрыва второго рода.
