Задание. Найти предел функции
$$\large \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{3x^2+1}{3x^2-x+1} \right)^{3x+4}$$
Решение.
Способ 1.Преобразуем выражение к экспоненте в сложной степени и вычислим предел, к которому стремится показатель степени.
$$\large \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{3x^2+1}{3x^2-x+1} \right)^{3x+4}=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{(3x+4)ln\left(\frac{3x^2+1}{3x^2-x+1} \right)}=A.$$
Рассмотрим
$$\large \lim_{x\rightarrow \infty}lnA=\lim_{x\rightarrow \infty}(3x+4)ln\left(\frac{3x^2+1}{3x^2-x+1} \right)=\lim_{x\rightarrow \infty}(3x+4)ln\left(1+\frac{x}{3x^2-x+1} \right)=$$
Используем, что ln(1 + z) z при z → 0. Здесь
$$\large \frac{x}{3x^2-x+1}\rightarrow 0,x\rightarrow \infty$$
так как старшая степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Поэтому:
$$\large =\lim_{x\rightarrow \infty}(3x+4)\frac{x}{3x^2-x+1}=1,\Rightarrow A=e^1=e.$$
Способ 2.
$$\large \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{3x^2+1}{3x^2-x+1} \right)^{3x+4}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{3x^2-x+1} \right)^{(\frac{3x^2-x+1}{x})(\frac{x}{3x^2-x+1})(3x+4)}=$$
Используем второй замечательный предел \(\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e.\)
$$\large =\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x(3x+4)}{3x^2-x+1} \right)=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{\frac{3x^2+4x}{3x^2-x+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{\left(\frac{3+4/x}{3-1/x+1/x^2}\right)}=e^1=e.$$
