ЗАДАНИЕ. Найти все значения корней из заданного комплексного числа. $$\large \sqrt[4]{-9}$$ РЕШЕНИЕ: Сначала запишем данное число z = −9 в тригонометрическом виде $$\large z=-9=9(-1+0i)=9(cos(\pi)+isin(\pi)).$$ Тогда получим 4 корня \(\large w_{0,1,2,3}=\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{-9},\) которые можно найти по формуле: $$\large w_k=\sqrt[4]{9}\left(cos\left(\frac{\pi+2\pi k}{4} \right)+isin\left(\frac{\pi+2\pi k}{4} \right) \right),k=0,1,2,3.$$ Получаем: $$\large w_0=\sqrt[4]{9}\left(cos\left(\frac{\pi}{4} \right)+isin\left(\frac{\pi}{4} \right) \right)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$$ $$\large w_1=\sqrt[4]{9}\left(cos\left(\frac{\pi+2\pi}{4} \right)+isin\left(\frac{\pi+2\pi}{4} \right) \right)=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$$ $$\large w_2=\sqrt[4]{9}\left(cos\left(\frac{\pi+4\pi}{4} \right)+isin\left(\frac{\pi+4\pi}{4} \right) \right)=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$$ $$\large w_3=\sqrt[4]{9}\left(cos\left(\frac{\pi+6\pi}{4} \right)+isin\left(\frac{\pi+6\pi}{4} \right) \right)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$
