Задание: решить уравнение

$$3 \sin x + 4 \cos x = 2$$
Решение: разделим левую и правую часть заданного уравнения на $$\sqrt{3^{2}+4^{2}} ,$$
получим $$\frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \sin x + \frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$$ $$\frac{3}{\sqrt{9+16}} \sin x + \frac{4}{\sqrt{9+16}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{9+16}}$$ $$\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x = \frac{2}{5}$$
Введем вспомогательный угол: $$\frac{3}{5} = \cos \varphi \text{ },\text{ } \frac{4}{5} = \sin \varphi .$$
Так как $$\sin \varphi = 0 \ и \cos \varphi = 0 ,$$
то в качестве вспомогательного угла можно взять $$\arcsin \frac{4}{5} .$$
Тогда последнее равенство преобразуется к такому виду: $$\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = \frac{2}{5}$$
Применив формулу «синус суммы», перепишем последнее равенство в виде: $$\sin ( x+ \varphi ) = \frac{2}{5}$$
Получили простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого равны $$x+ \varphi = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$ $$x = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} - \arcsin \frac{4}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$
Ответ: $$x = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} - \arcsin \frac{4}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z$$

---