Пример 1: Решить уравнение $$11sinx-2cosx=10$$
Решение:
Разложим sin и cos:
$$22sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-2cos^2\frac{x}{2}+2sin^2\frac{x}{2}=10sin^2\frac{x}{2}+10cos^2\frac{x}{2}$$
Разделим на cos x:
$$4tg^2\frac{x}{2}-11tg\frac{x}{2}+6=0$$
$$tg\frac{x}{2}=\frac{11\pm \sqrt{121-96}}{8}=\frac{11\pm 5}{8}$$
Получаем 2 уравнения и решим их
1)
$$tg\frac{x}{2}=2$$
$$x=2arctg2+2\pi k$$
2)
$$tg\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$$
$$x=arctg\frac{3}{4}+2\pi k$$
Ответ: $$x_{1}=2arctg2+2\pi k; \; x_{2}=arctg\frac{3}{4}+2\pi k$$
Пример 2: Решить уравнение $$\frac{1}{sinx}-\frac{1}{cosx}=1$$
Решение:
Используем замену:
$$sin2x\rightarrow sinxcosx\rightarrow sinx+cosx, \;sinx-cosx$$
Получим:
$$cosx-sinx=sinxcosx$$
$$cosx-sinx=t$$
$$1-t^2=2t$$
$$t^2+2t-1=0$$
$$t=-1\pm \sqrt2$$
1) $$cosx-sinx=-1+\sqrt2$$
$$-\sqrt2(x-\frac{\pi }{4})=-1+\sqrt2$$
$$x=\frac{\pi }{4}+arcsin(1-\frac{1}{\sqrt2})+2\pi k$$
2) $$cosx-sinx=-1-\sqrt2$$
$$-\sqrt2(x-\frac{\pi }{4})=-1-\sqrt2$$
$$x=\frac{5\pi }{4}+arcsin(1-\frac{1}{\sqrt2})+2\pi k$$
Ответ: $$x_{1}=\frac{\pi }{4}+arcsin(1-\frac{1}{\sqrt2})+2\pi k; \; x_{2}=\frac{5\pi }{4}+arcsin(1-\frac{1}{\sqrt2})+2\pi k$$
