Пример 1 Решить уравнение: $$\sin^2{x} + \cos{2x} = \frac{1}{4}.$$
Решение:
По одной из формул понижения степени, получим:
$$\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}.$$
После подстановки в уравнение имеем
$$\frac{1 - \cos{2x}}{2} + \cos{2x} = \frac{1}{4}.$$
Перешли к одному аргументу 2x и понизили степень уравнения: вместо уравнения второй степени получили уравнение первой степени относительно cos2x, которое и решаем. Умножим обе части уравнения на 2:
$$1 - \cos{ 2x} + 2\cos{2x} = \frac{1}{ 2}; 1 + \cos{2x} = \frac{1}{2}; \cos{2x} = -\frac{1}{2}. $$
Получили простейшее уравнение типа cos x=m.
Так как
$$\arccos{-\frac{1}{2}} = 180^{\circ} - \arccos{\frac{1}{2}}=180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ},$$
то по формуле решения простейшего уравнения запишем:
$$2x = \pm 120^{\circ} + 360^{\circ} n, x = \pm 60^{\circ} + 180^{\circ} n.$$
Ответ: $$x = \pm 60^{\circ} + 180^{\circ} n.$$
Пример 2 Решить уравнение: $$cos4x=cos^23x$$
Решение:
Применим формулы понижения степени получим:
$$2cos^22x-1=\frac{1+cos6x}{2}$$
В итоге получаем:
$$(cos2x-1)(2cos2x-\sqrt 3)(2cos2x+ \sqrt 3)=0$$
$$4cos2x-4cos2x-3cos2x+3=0$$
$$4cos2x-2=4cos2x-3cos2x+1$$
Ответ: $$x_{1}=\pi n$$; $$x_{2}=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2}$$
