Пример 1 Решить уравнение: $$\sqrt{3}\text{tg}(3x+\frac{\pi}{4})=1.$$
Решение: $$\text{tg}(3x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Получили простейшее тригонометрическое уравнение типа $$\text{tg}x=m.$$
Аргументом тангенса является $$3x+\frac{\pi}{4},$$
поэтому не x, а весь аргумент нужно приравнять решению такого типа уравнения.
Итак, получим: $$3x+\frac{\pi}{4}=\text{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
откуда находим x, решая это равенство как линейное уравнение относительно x:
$$3x+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}+\pi n, 3x=-\frac{\pi}{12}+\pi n, x=-\frac{\pi}{36}-\frac{\pi}{3}n$$
Ответ: $$x=-\frac{\pi}{36}-\frac{\pi}{3}n; n=0,\pm 1,\pm 2,...$$
Пример 2 Решить уравнение: $$\sin{x}cos{x}\cos{2x}=\frac{1}{8}.$$
Решение:
Целесообразно перейти к аргументу 2x. Произведение $$\sin{x}\cos{x}$$
напоминает о формуле синуса двойного аргумента: $$\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}.$$
Подставив в уравнение, получим: $$\frac{1}{2}\sin{2x}\cos{2x}=\frac{1}{8}.$$
В левой части еще раз применим формулу синуса двойного аргумента, но сначала умножим обе части уравнения на 4.
$$2\sin{2x}\cos{2x}=\frac{1}{2}; \sin{2(2x)}=\frac{1}{2}; \sin{4x}=\frac{1}{2}.$$
Получили простейшее уравнение типа $$\sin{x}=m$$
и весь аргумент 4x приравняем решению простейшего уравнения:
$$4x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$ откуда $$x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{4}n.$$
Ответ:
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{4}n;\, n=0, \pm 1,\pm 2,....$$
