Решим тригонометрическое уравнение с модулем: $$cos3x+ |cosx| =sin2x$$ Решение:
Так как уравнение содержит модуль, нам нужно этот модуль раскрыть по определению модуля.
Рассмотри два случая:
а) cos x>0
б) cos x<0
a) Раскрываем модуль с тем же знаком и получаем уравнение $$cos3x+ cosx =sin2x$$ Представим сумму косинусов в виде произведения, а правую часть уравнения разложим по формуле синуса двойного угла. $$2cos\frac{3x+x}{2}\: cos\frac{3x-x}{2}=2sinxcosx$$ $$2cos2xcosx=2sinxcosx$$ Перенесем все влево и вынесем за скобки $$2cosx(cos2x-sinx)=0$$ Отсюда $$cosx=0\; или\; cos2x-sinx=0$$ Решим второе уравнение $$1-2sin^2x-sinx=0$$ Отсюда получаем $$sinx=-1 \; sinx=\frac{1}{2}$$ $$x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$$ б) В этом случае, так как подмодульное выражение отрицательно, раскрываем модуль с противоположным знаком: $$cos3x-cosx=sin2x$$ Разность косинусов представим в виде произведения $$-2sin\frac{3x-x}{2}sin\frac{3x+x}{2}=sin2x$$ $$-2sinxsin2x-sin2x=0$$ Потом получим $$-sin2x(2sinx+1)=0$$ Отсюда $$sin2x=0 \; или \; sinx=-\frac{1}{2}$$ Находим x: $$x=\pi +2\pi n$$ Ответ: $$x=\pi +2\pi n$$ $$x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$$

---