Пример 1: Решить уравнение $$sin^2 x + sin x - 2 = 0.$$
Решение:
Это уравнение является квадратным относительно sin x. Oбозначим sin x = у,
$$y^2 + y - 2 = 0.$$
Решив это уравнение, мы получаем его корни:
$$y_{1} = 1, y_{2} = -2.$$
Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений:
$$sin x = 1 \:\; и sin x = -2.$$
Корнем уравнения sin x = 1 является
$$x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n$$
уравнение sin x = -2 не имеет корней.
Ответ: $$x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n$$
Пример 2: Решить уравнение $$2 cos^2x - 5 sin x + 1 = 0.$$
Решение:
Заменим
$$cos^2x \; ;на \; 1 - sin^2 x$$
И получим:
$$2(1 - sin^2 x) - 5 sin x + 1 = 0,$$
$$2 sin^2 x + 5 sin x - 3 = 0.$$
Обозначив sin x = у, мы получили:
$$2y^2 + 5y - 3 = 0$$
Откуда
$$y^{1}=-3; \: y_{2}=\frac{1}{2}$$
Уравнение sin x=-3 не имеет корней
$$sin x=\frac{1}{2}$$
$$x= (-1)^n \frac{\pi }{6} + \pi n$$
