Пример 1: Решить уравнение $$2sin^2x+3sinx-2=0$$
Решение:
Это уравнение является квадратным относительно sin x. Делаем замену t = sin x и
получаем квадратное уравнение относительно t:
$$2t^2+3t-2=0$$
Решая его, находим:
$$t_{1}=\frac{1}{2}; \; t_{2}=-2$$
Теперь обратная замена:
$$sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$$
Уравнение
$$sinx=-2$$
решений не имеет.
Ответ: $$x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$$
Пример 2: Решить уравнение $$6sin^2x-cosx-4=0$$
Решение:
Выражаем sin x из основного тригонометрического тождества, и
подставляем в уравнение:
$$6(1-cos^2x)-cosx-4=0$$
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:
$$6cos^2x+cosx-2=0$$
Делаем замену t = cos x:
$$6t^2+t-2=0$$
Корни полученного квадратного уравнения:
$$t_{1}=\frac{1}{2}; \; t_{2}=-\frac{2}{3}$$
Обратная замена:
$$cosx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$$
$$cosx=-\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\pm arccos(-\frac{2}{3})+2\pi n$$
Ответ: $$x_{1}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n; \; x_{2}=\pm arccos(-\frac{2}{3})+2\pi n$$
