Пример 1:
Вычислить двойной интеграл
\(I=\int_{0}^{R}{dx}\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}{\frac{tg\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}dy}\)
используя полярные координаты.
Решение:
Область интегрирования D представляет собой полукруг, размещено в четвертом и первом квадрантах (рисунок 1.1)
Рисунок 1.1
Формула перехода к полярным координатам имеет вид:
\(\int \int_{D}{f(x,y)dxdy}=\int \int_{D}{f(\rho cos\varphi ,\rho sin\varphi )\rho d \rho d\varphi }\),
где область D задана в декартовой системе координат xOy, а D' - соответствующая ей область в полярной системе координат.
Перейдем к полярным координатам заменой:
\(x=\rho cos\varphi , y=\rho sin\varphi , x^2+y^2=\rho ^2\) где \(0\leq \rho \leq R\) \(-\frac{\pi }{2}\leq \varphi \leq \frac{ \pi }{2}\)
Тогда:
\(I=\int_{\frac{-\pi
}{2} }^{\frac{\pi }{2}}{d\varphi }\int_{0}^{R}{\frac{tg\rho }{\rho }}\rho d \rho
=\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \int_{0}^{R}{(tg \rho )}d
\rho =-\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}(ln|cosR|-ln1)d\varphi =\)
\(=-\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}(ln|cosR|)d\varphi = - ln(cos
R)(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})=-\pi ln|cosR|\)
Ответ: \(-\pi ln|cosR|\)
Пример 2:
Вычислить двойной интеграл \(\int \int_{D}{ln(x^2+y^2)}dxdy\),
если область D - кольцо между окружностями \(x^2+y^2=e^x\) и \(x^2+y^2=e^4\).Решение:
Перейдем к полярным координатам:
\(\int
\int_{D}{ln(x^2+y^2)}dxdy=\int \int_{D}{ln\rho ^2\cdot \rho d\rho d\theta }
=2\int \int_{D}{\rho ln\rho d\rho d\theta }=\)
\(=2\int_{0}^{2\pi }{d\theta }\int_{e}^{e^x}{\rho ln \rho d\rho }\)
Взяв по частям интеграл, зависящий от \(\rho\),
получим:
\(2\int_{0}^{2\pi }{[\frac{1}{2}\rho ^2ln\rho -\frac{1}{4}\rho ^2]}\mid_{e}^{e^x}d\theta =\pi e^2(3e^2-1)\)
Ответ: \(\pi e^2(3e^2-1)\)
2012-12-21 • Просмотров [ 13764 ]
