Задача 1
Вычислить определитель третьего порядка
$$
\left|
\matrix
{
5 & 3 & 2\\
-1 & 2 & 4\\
7 & 3 & 6
}
\right|
$$
Решение 1
Разложив определитель по элементам 1-й строки, получим
$$
\left|
\matrix
{
5 & 3 & 2\\
-1 & 2 & 4\\
7 & 3 & 6
}
\right|
=5
\left|
\matrix
{
2 & 4 \\
3 & 6
}
\right|
-3
\left|
\matrix
{
-1 & 4 \\
7 & 6
}
\right|
+2
\left|
\matrix
{
-1 & 2 \\
7 & 3
}
\right|
=5\cdot0-3(-34)+2(-17)=68.
$$
Задача 2
Вычислить тот же определитель на основании теоремы о линейной комбинации элементов строк (столбцов).
Решение 2
К элементам 1-й стороки прибавим соответствующие элементы 2-й строки, умноженные на 5, а к элементам 3-й строки – соответствующие элементы 2-й сторки, умноженные на 7:
$$
\left|
\matrix
{
5 & 3 & 2\\
-1 & 2 & 4\\
7 & 3 & 6
}
\right|
=
\left|
\matrix
{
0 & 13 & 22\\
-1 & 2 & 4\\
0 & 17 & 34
}
\right|
$$
Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получаем
$$
\left|
\matrix
{
0 & 13 & 22\\
-1 & 2 & 4\\
0 & 17 & 34
}
\right|
=0
\left|
\matrix
{
2 & 4 \\
17 & 34
}
\right|
+1
\left|
\matrix
{
13 & 22 \\
17 & 34
}
\right|
+0
\left|
\matrix
{
13 & 22 \\
2 & 4
}
\right|
=13\cdot34-17\cdot22=68.
$$
