Задача. Найти поток векторного поля

$$\bar{a}=(x-y)\cdot\bar{i}+(x+y)\cdot\bar{j}+\bar{k}$$

через часть цилиндрической поверхности

$$x^2+y^2=a^2,$$

расположенной между плоскостями

$$z=0,\quad z=x.$$

Решение:

Поток находится по формуле:

$$\prod=\int \int_{S} \bar{a}\cdot \bar{n}\, dS.$$

Найдем нормальный вектор \(\bar{n}\) из уравнения \(x^2+y^2=a^2\):

$$\bar{n} = \frac{2x\cdot \bar{i}+2y\cdot \bar{j}}{\sqrt{4x^2+4y^2}}=\frac{x\, \bar{i}+y\, \bar{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x\, \bar{i}+y\, \bar{j}}{a}.$$

Скалярное произведение векторов:

$$\bar{a}\cdot \bar{n} = \frac{x^2-xy}{a} + \frac{xy+y^2}{a} = \frac{x^2+y^2}{a} = \frac{a^2}{a} = a.$$

Поскольку нам необходимо найти поток через цилиндрическую поверхность, то введем в качестве криволинейных координат \(\varphi\) и \(z\).

Тогда \(x=a\cdot \cos \varphi,\quad y=a\cdot \sin \varphi,\quad z=z,\quad dS=a\,d\varphi \,dz.\)

Поток:

$$\prod=\int \int_{S} a\, dS = \int \int_{D} a^2\,d\varphi \,dz=$$

$$=\begin{vmatrix} -\frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \\ 0\leq z\leq a\, \cos \varphi \end{vmatrix} =a^2\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int\limits_{0}^{a\,\cos\varphi}dz=$$

$$=a^2\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left. z\, \right|_{0}^{a\,\cos\varphi}\,d\varphi=a^2\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}a\,\cos\varphi\,d\varphi=$$

$$=a^3\,\left.\sin\varphi\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=a^3\cdot\left(1-(-1)\right)=2a^3.$$

Ответ:

$$\prod=2a^3.$$

---