Пусть сторона основания ящика - а, а высота ящика -b. Площадь поверхности ящика \(S=a^2+4b\).
По условию задачи она равна \(3м^2\). Тогда \(a^2+4ab=3\).
Эта функция является функцией двух переменных a и b. Исключим одну из переменных. Поскольку, \(a^2+4ab=3\), то \(b=\frac{3-a^2}{4a}\).
Следовательно, \(V=a^2b\Rightarrow \frac{a^2(3-a^2)}{4a}=\frac{a(3-a^2)}{4}\).
Тогда \(V'=\frac{1}{4}((3-a^2)+(-2a)\cdot a)=\frac{1}{4}(3-3a^2)=\frac{3}{4}(1-a^2).\)
Решим уравнения V'=0, т.е.
\(\frac{3}{4}(1-a^2)=0\);
\(1-a^2=0, \frac{3}{4}\neq 0\);
\(a=-1, a=1\)\(\frac{3}{4}(1-a^2)=0\);
\(1-a^2=0, \frac{3}{4}\neq 0\);
\(a=-1, a=1\)
Данные решения разбивают область определения функции на интервалы \(\left(-\propto ;-1 \right)\bigcup(-1;1)\bigcup(1;\propto)\).
Определим знаки в произвольных точках каждого из интервалов:
a=1 является точкой максимума.
Oпределим b: \(b=\frac{3-1^2}{4\cdot 1}=\frac{1}{2}\)
Ответ: максимальные размеры ящика должны быть \(1\times 1\times \frac{1}{2}\), если для его изготовления дано \(3м^2\) материала.
