Знайти екстремум функції $$f(x,y)=x^2+y^2$$
за умови \(x+y-1=0.\)
Розв'язання
Складаємо функцію Лагранжа $$L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda(x+y-1).$$
Згідно з необхідними умовами екстремуму маємо систему рівнянь для визначення стаціонарної точки: $$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0;& \\ \frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0;& \\ \frac{\partial L}{\partial y}=x+y-1.& \end{cases}$$
Звідки \(x=-\frac{\lambda}{2};\;y=-\frac{\lambda}{2};\;\lambda=-1.\)

Отже, \(x=\frac{1}{2};\;y=\frac{1}{2};\;\lambda=-1.\)

Тоді, \(L(x,y,-1)=x^2+y^2-(x+y-1).\)
Позначимо \(M_0\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right).\) Дослідимо точку \(M_0\) на умовний екстремум, використовуючи достатні умови екстремуму. $$\frac{\partial^2 L}{\partial x^2}\mid _{M_0}=2;\; \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y}\mid _{M_0}=0;\; \frac{\partial^2 L}{\partial y^2}\mid _{M_0}=2.$$
З рівняння зв'язку маємо, що \(dy=-dx.\) Тоді $$d^2L(x,y,-1)\mid _{M_0}=2dx^2+2dy^2=4dx^2>0.$$
Точка \(M_0\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)\) - точка умовного мінімуму вихідної функції; значення функції в точці мінімуму: $$f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

---