Знайти найбільше та найменше значення функції \(z=x^2y(2-x-y)\) у замкненій області D, обмеженій прямими \(x=0, \;y= 0,\; x+y=6.\)
Розв'язання

1) Знаходимо стаціонарні точки. Маємо: $$\frac{\partial z}{\partial x}=xy(4-3x-2y);\; \frac{\partial z}{\partial y}=x^2(2-x-2y).$$
Маємо систему для визначення стаціонарних точок: $$\begin{cases} xy(4-3x-2y)=0,& \\ x^2(2-x-2y)=0.& \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4-3x-2y=0,& \\ 2-x-2y=0.& \end{cases}$$
Скоротили на \(xy\) та \(x^2\) (всередині трикутника \(OAB \; x\neq0, y\neq 0\)).
Розв'язком системи є \(x=1,\;y=\frac{1}{2}.\)
Стаціонарна точка \(M\left(1,\frac{1}{2} \right)\in D,\) тому обчислюємо значення $$z\left(1,\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.$$
2) Досліджуємо функцію на межі області, яка складається з відрізків \(OB, OA, AB:\)
а) \(OB: x=0, \;z=0\) в усіх точках відрізка \(z(0)=z(B)=0;\)
б) \(OA: y=0,\; z=0\) в усіх точках відрізка \(z(A)=0;\)
в) \(AB: x+y=6, \;y=6-x,\) тому $$z=x^2(6-x)(2-x-6+x)=-4x^2(6-x), 0\leq x\leq 6.$$
Знаходимо стаціонарні точки функції \(z=-4x^2(6-x).\) $$z_{x}'=-48x+12x^2=0\Rightarrow x(x-4)=0.$$
Звідки \(x_1=0,\;x_2=4.\) Оскільки \(y=6-x\) то \(y_1=6,\; y_2=2.\)
Знаходимо точки \(B(0,6),\;C(4,2)\) та обчислюємо \(z(B)=0, z(C)=-128.\)
3) Порівнюємо всі знайдені значення функції: $$z(M)=\frac{1}{4},\; z(0)=z(A)=z(B)=0,\;z(C)=-128.$$
Отже, найбільше значення функції \(z_{max}=\frac{1}{4}\) в точці \(M\left(1,\frac{1}{2} \right);\)
найменше значення функції \(z_{min}= -128\) в точці \(C(4,2).\)

---