Задача. Використовуючи класичний метод, знайти точку мінімуму заданої квадратичної функції: $$f(x_1;x_2)$$ з точністю до: $$10^{-3}$$ $$f(x)=3x_1^{2}-8x_1x_2+13x_2^{2}-x_1+17x_2.$$ Розв'язання: Знайдемо частинні похідні першого порядку і складемо систему рівнянь: $$\frac{df}{dx_1} = 6x_1-8x_2-1, \frac{df}{dx_2} = -8x_1+26x_2+17. $$ Звідки: $$\begin{equation*} \begin{cases} 6x_1-8x_2-1 = 0, \\ -8x_1+26x_2+17=0. \end{cases} \end{equation*}$$ Розв'язавши цю систему, отримаємо стаціонарну точку: $$x^{(1)}=(-1,18;-1,01).$$ Обчислюємо частинні похідні другого порядку: $$\frac{d^{2}f}{dx_1^{2}} = 6, \frac{d^{2}f}{dx_2^{2}}=26,\frac{d^{2}f}{dx_1dx_2}=-8.$$ Cкладемо і обчислюємо визначник для стаціонарної точки: $$A=\frac{d^{2}f}{dx_1^{2}}=6,B=\frac{d^{2}f}{dx_1dx_2}=-8,C=\frac{d^{2}f}{dx_1^{2}}=26.$$ $$D=\begin{bmatrix} 6 & -8 \\ -8 & 26 \end{bmatrix}=96.$$ Оскільки A>0 і D>0, то точка $$x^{(1)}=(-1,18;-1,01).$$ є точкою мінімуму: $$f_{min}=f(-1,18;-1,01)=4,17-9,53+13,26+1,18-17,17=-8,09.$$ Відповідь: $$f_{min}=f(-1,18;-1,01)=-8,09.$$
