Знайти загальний розв'язок рівняння Ейлера $$x^2y''-3xy'+4y=0$$
Розв'язання:
Покладемо $$y=x^k,\;x>0$$
Знайдемо $$y'=kx^{k-1},\;y''=k(k-1)x^{k-2}$$
та підставимо в задане диференціальне рівняння: $$x^2k(k-1)x^{k-2}-3xkx^{k-1}+4x^k=0$$
або $$x^k(k^2-4k+4)=0.$$
Скоротивши на \(x^k\) , отримуємо характеристичне рівняння: $$k^2-4k+4=0$$
або $$(k-2)^2=0,$$
корені якого \(k_{1,2}=2.\)
Тобто корінь характеристичного рівняння кратності 2, йому відповідає два лінійно незалежних розв'язки: $$y_1=x^2,\;y_2=x^2 \ln x.$$
Отже, загальний розв'язок рівняння Ейлера: $$y=C_1y_1+C_2y_2=x^2(C_1+C_2 \ln x).$$
Якщо врахувати випадок \(х < 0\) , то загальний розв'язок запишеться у вигляді: $$y=x^2(C_1+C_2 \ln |x|).$$

---