Лінійне рівняння з однією змінною.

Розглянемо три рівняння:

$$2x=-3,$$ $$0x=0,$$ $$0x=2.$$

Число -1.5 є єдиним коренем першого рівняння.

Оскільки добуток будь-якого числа на нуль дорівнює нулю, то коренем другого рівняння є будь-яке число. Третє рівняння коренів не має. Рівнянням виду: $$ax=b$$ де x-змінна, a і b - деякі числа. Наведемо ще приклади лінійних рівнянь:$$\frac{1}{2}x=7;$$ $$-0.4=2.8;$$ $$-x=0.$$ Зауважимо,що,приклади, рівняння $$x^2=0,$$ $$(x-2)(x-3)=0,$$ $$|x|=5.$$ не є лінійними. Приклад 1 Розв'яжемо рівняння з модулем: $$|5x-6|=4.$$ Ураховуючи, що існують тільки два числа, -4 і 4, модулі яких дорівнють 4, отримуємо:$$5x-6=4,$$$$5x-6=-4.$$ Звідси x=-0.7 або x=0.4.

Тотожно рівні вирази.

Вирази, відповідні значення яких є рівними при будь-яких значеннях змінних,що входять до них, називають тотожно рівними. Наприклад вираз $$2(x-1)-1$$$$2x-3$$ тотожно рівні, а вирази $$x^5-x$$$$5x^3-5x$$ не є тотожно рівними. Ось ще приклад тотожно рівного виразу $$7(a+b)$$ і $$7a+7b$$ Приклад 1 Доведіть тотожність:$$a(b-c)+b(c-a)=c(b-a).$$ Розв'язання: Розглянемо різницю лівої і правої частини: $$a(b-c)+b(c-a)-c(b-a)=ab-ac+bc-ab-bc+ac=0.$$ Тотожність доведено. Приклад 2 Доведіть, що рівність $$(a+2)(a-3)=a^2-6$$ не є тотожністю. Розв'язання Щоб довести, що рівність не є тотожністю, достатньо навести контрприклад:указати такие значення змінної, при якому дана рівність не справджується. наприклад, при a=1 маємо: $$(a+2)(a-3)=(1+2)(1-3)=-6;$$ $$a^2-6=1-6=-5.$$ Отже, дана рівність не є тотожністю.

Степінь з натуральним показником

Як ви знаете, у матиматиці придумали спосіб коротки записувати добуток, усі множники якого рівні. Наприклад: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$$ Означення.Степенем числа a з натуральним показником n, більшим за 1, називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює a. Звернемо увагу, що в означенні степеня на показник n накладено обмеження $$n \lt 1$$ Означення.Степенем числа a з показником 1 називають саме це число. Отже, з наведених означень випливає,що $$a^n=a_1*a_2*\ldots*a_n,$$ $$n \lt 1,$$ $$a^1=a.$$ Приклад 1 Розв'яжить рівняння: $$(x-10)^8=-1$$. Розв'язання.Оскільки при піднесені до степеня з парним показником отримуємо невід'ємне число, то дане рівняння коренів не має.

Властивості степеня з натуральним показником

Розглянемо добуток степенів з однаковими основами, і подамо цей вираз у вигляді степеня з основою a: $$a^2a^5=(aa)*(aaaaa)=aaaaaaa=a^7$$ Теорема 1.Для будь-якого числа a та будь-яких натуральних чисел m і n є справедливою рівність: $$a^ma^n=a^{m+n}$$ Аналогічна властивість має місце й для добутку трьох і більше степенів: $$3^2*3^3*3^7=(3^2*3^3)*3^7=3^{2+3}*3^7=3^{(2+3)+7}=3^{2+3+7}=3^12$$ Теорема 2.Для будь-якого числа a, відмінного від нуля, і будь-яких натуральних чисел m і n таких, справедлива рівність $$a^m : a^n = a^{m-n}$$ Теорема 3.Для будь якого числа a та будь-яких натуральних чисел m і n є справедливою рівність $$(a^m)^n=a^{mn}$$ Теорема 4. Для будь-яких чисел a і b та будь якого натурального числа n є справедлива рівність $$(ab)^n=a^nb^n$$ Приклад 1 Спростіть вираз: $$(a^5)^2*(a^6)^7$$ Розв'язання.Застосувавши послідовно правило піднесення степеня до степеня та правило множення степенів з однаковою основою, отримємо: $$(a^5)^2*(a^6)^7=a^{10}*a^{42}=a^{52}$$

Одночлени

Розглянемо вирази: $$2b;$$ $$\frac{1}{3}xy^2;$$$$-ab;m^3*3k^5;$$$$(3.14)^2pq^3*(-7)r^2t^4$$ Кожен із них є добутки чисел, змінних та їхніх степенів.Такі вирази називають одночленами. Зауважимо, що, наприклад, вирази $$2a+b,$$$$x-1,$$$$a : b,$$$$y^2+y-2$$ не є одночленами, оскільки вони крім множення та піднесення до степеня, містить ще й інші дії. Приклад 1 Знайдіть значення виразу $$-\frac{2}{7}a^6b^8$$ де $$4a^3b^4=7$$ Розв'язання.$$-\frac{2}{7}a^2b^8=-\frac{1}{56}*16a^6*b^8=-\frac{1}{56}*(4a^3b^4)^2=-\frac{1}{56}*7^2=-\frac{1}{56}*49=-\frac{7}{8}$$

Многочлени

Означення.Вираз, який э сумою кількох одночленів, називають многочленом. Наприклад $$7xy+y-11;$$ $$x^4-2x^3+5x^2-x+1;$$$$3a-a+b;$$ $$11x-2x.$$ Добуток різниці та суми двох виразів Розглянемо окремий випадок, коли в добутку двох многочленів один із них є різницею двох виразів, а другий-їхньою сумою $$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2=a^2-b^2$$ Отримали тотожність яку називають формулою скороченого множення $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ Приклад 1 Розкладіть на множники $$a^2-4=a^2-2^2=(a-2)(a+2)$$

Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

Перетворимо у многочлен вираз $$(a+b)^2$$ Маємо $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$$ Отже маємо формулу яку називають формулою квадрата суми двох виразів $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ Аналогічно формула квадрата різниці двох виразів $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Приклад 1 $$x^2+10x+25$$ Розв'язання $$x^2+10x+25=x^2+2*x*5+5^2=(5+x)^2$$ Приклад 2 Розв'яжить рівняння $$4x^2-12x+9=0$$ Подамо ліву частину рівняння у вигляді квадрата різниці та розв'яжемо рівняння $$(2x-3)^2=0;$$$$2x-3=0;$$$$x=1.5$$

Сума й різниця кубів двох виразів

Помножимо двочлен на тричлен $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$$ Цю тотожність називають формулою сумою кубів $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ Аналогічно, формула різниці кубів $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ Приклад 1 $$8a^3+27b^3$$ Розв'язання.Подавши даний многочлен у вигляді суми кубів двох виразів, отримуємо $$8a^3+27b^3=(2a)^3+(3a)^3=(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)$$

---