Задача №661

Ортогональною проекцією трапеції є рівнобічна трапеція з основами 7 см і 25 см та діагоналями, які перпендикулярні до бічних сторін. Кут між площинами трапеції \(45^{\circ}\). Знайдіть площу цієї трапеції.

Розв'язання

\[B_{1}K\perp{A_{1}D_{1}}\]

\(\triangle{B_{1}KA_{1}}-\triangle{D_{1}B_{1}A_{1}}\) - за двома кутами.
\[\frac{B_{1}K}{B_{1}D_{1}}=\frac{A_{1}K}{A_{1}B_{1}}=\frac{A_{1}B_{1}}{A_{1}D_{1}};\]
\[A_{1}K=\frac{A_{1}D_{1}-B_{1}C_{1}}{2}=\frac{25-7}{2}=9\]
\[A_{1}B_{1}^{2}=A_{1}K\cdot{A_{1}D_{1}}\]
\[A_{1}B_{1}^{2}=9\cdot{25}\]
\[A_{1}B_{1}=15\]
\(\triangle{A_{1}B_{1}K}:\)
\[B_{1}K=\sqrt{A_{1}B_{1}^{2}-A_{1}K^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{144}=12\]
\[S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{B_{1}C_{1}+A_{1}D_{1}}{2}\cdot{B_{1}K}=\frac{7+25}{2}\cdot{12}=192 (см^{2})\]


Відповідь: \(192 (см^{2})\)

Задача №672

Через вершину кута С трикутника АВС проведено похилу СМ, яка утворює зі сторонами АС і ВС рівні кути. N- проекція М на площину трикутника, \(N\epsilon{AB}\). Знайдіть проекцію похилої СМ, якщо проекції АМ і ВМ дорівнюють відповідно 20 м і 15 м.

Розв'язання
Оскільки \(\angle{ACM}=\triangle{MCB}\), то \(\angle{ACN}=\angle{NCB}\), NC - бісектриса \(\triangle{АCB}\).

За властивістю бісектриси:
\[\frac{AN}{NB}=\frac{AC}{CB}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}\]
\[AB=AN+NB=15+20=35\]
\(\triangle{АCB}\): за теоремою Піфагора:
\[CB^{2}+AC^{2}=AB^{2}.\]
\[CB^{2}+(\frac{4}{3}CB)^{2}=35^{2}\Rightarrow{9CB^{2}+16CB^{2}}=11025;\]
\[CB^{2}=441; CB=21(см)\]
\[AC=\frac{4}{3}CB=\frac{4}{3}\cdot{21}=28 (см)\]
\[p=\frac{AC+CB+AB}{2}=\frac{21+28+35}{2}=42.\]
\[CN=\frac{\sqrt[2]{AC\cdot{CB(p-AB)\cdot{p}}}}{AC+CB}=\frac{\sqrt[2]{28\cdot{21}\cdot{(42-35)}\cdot{42}}}{28+21}=\frac{588\sqrt{2}}{49}=12\sqrt{2} см.\]
Відповідь: \(12\sqrt{2} см.\)

Умови задач взято з підручника "Геометрія 10 клас" (Бевз, Владімірова).

---