Планіметричні задачі бувають різних видів, здебільшого - на обчислення, побудову, доведення чи дослідження. У задачах на обчислення найчастише вимагається знайти значення геометричної величини: відстань, довжину дуги, міру кута, периметр чи площу фігури.
Задача №15
Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і \(4\sqrt{6}\) см, а висота, проведена з їхньої спільної вершини, - 4 см. Знайдіть площу трикутника.
Розв'язання
За теоремою Піфагора: \[AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{96-16}=\sqrt{80}=2\sqrt{20} (см)\] \[KC=\sqrt{BC^{2}-BK^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{80}=\sqrt{20} (см)\] \[AC=AK+KC=2\sqrt{20}+\sqrt{20}=3\sqrt{20}(см)\] \[S_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}AC\cdot{BK}=\frac{1}{2}\cdot{3\sqrt{20}\cdot{4}}=12\sqrt{5} (см^{2})\]
Відповідь: \(12\sqrt{5} (см^{2})\)
Задача №20
Побудуйте кут, тангенс якого дорівнює 5. Знайдіть синус і косинус цього кута.
Розв'язання
1) Побудуємо перпендикуляр до довільної прямої a, точку перетину позначимо А.
2) На перпендикулярі позначимо відрізок довільної довжини АВ.
3) На прямій позначимо відрізок АС=5АВ.
4) \[tg\angle{CBA}=\frac{AC}{AB}=\frac{5AB}{AB}=5\]
5) \(\angle{CBA}\) - шуканий.
За теоремою Піфагора:
\[CB=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{AB^{2}+25AB^{2}}=AB\sqrt{26}\]
\[\sin\angle{CBA}=\frac{AC}{CB}=\frac{5AB}{\sqrt{26}AB}=\frac{5}{\sqrt{26}}\]
\[\cos\angle{CBA}=\frac{AB}{CB}=\frac{AB}{\sqrt{26}AB}=\frac{1}{\sqrt{26}}\]
Відповідь: \(\sin\angle{CBA}=\frac{5}{\sqrt{26}}\); \(\cos\angle{CBA}=\frac{1}{\sqrt{26}}\).
Умови задач взято з підручника "Геометрія 10 клас" (Бевз, Владімірова).
