Диференціальні рівняння
Основні визначення про диференціальні рівняння

Диференціальним називається рівняння, що зв'язує незалежну змінну x, невідому функцію у і похідні невідомої функції .

Загальний вигляд диференціального рівняння:\[F\left(x,y,y^{'},y^{''}..y^{n}\right)=0\]

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної,
що входить в рівняння. Наприклад: \[F \left(x,y,y^{'},y^{'}\right)\] Це рівняння другого порядку.

Диференціальні рівняння першого порядку
Його загальний вид:

\[F\left(x,y,y^{'}\right)=0\]

Вирішення рівняння першого порядку виконується шляхом інтеграції.

Рівняння із змінними, що розділяються

До них відносяться рівняння, в яких вирази, що містять змінну x або у і диференціали dx, dy
можуть бути розділені знаками =, +, -. Рівняння можуть бути записані у вигляді:

\[y=f_{1}\left(x\right)\cdot f_{2}\left (y\right)\cdot\] \[M\left(x\right)\cdot N\left(y\right)dx+P\left(x\right)\cdot G\left(y\right)dy=0\]

Приклад 1
Вирішити рівняння:\[y\cdotу^{'} = sinx \]

Рішення рівняння виконується за допомогою ділення обох частин. Це рівняння із змінними,
що розділяються. Записавши похідну через відношення диференціалів, розділимо змінні:

\[y\cdot\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=sinx\] \[ydy=sinxdx\] \[\int ydy=\int sinxdx+C\]

Загальний розв'язок рівняння:\[\frac{y^{2}}{2}=C-cosx\]

Приклад 2
Знайти загальний розв'язок рівняння:

\[y=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\]

Розв'язання:
Перевірка рівняння на однорідність: \[f\left(x,y\right)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x\cdot y}\] \[f\left(tx,ty\right)=\frac{\left(tx\right)^{2}+\left(ty\right)^{2}}{tx\cdot ty}=\frac{t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{t^{2}x\cdot y}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x\cdot y}\]

Рівняння однорідне.
Виконуємо заміну y=ux, y'=u'x+u: \[u^{'}x+u=\frac{x^{2}+u^{2x}}{xux}\] \[u^{'}x+u=\frac{1+u^{2}}{u}\] \[u^{'}x=\frac{1}{u}\] \[\frac{\text{d}u}{\text{d}x}x=\frac{1}{u}\]

Отримуємо рівняння із змінними, що розділяються. Інтегруємо його: \[udu=\frac{\text{d}x}{\text{x}}\] \[\int udu=\int\frac{\text{d}x}{\text{x}}+C\] \[u^{2}=2\ln xC\]

Переходимо до змінної у: \[\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2ln\left[xC\right]\] \[y^{2}=2x^{2}lnxC\]

Загальний розв'язок рівняння: \[y=\pm \sqrt{2x^{2}ln\left[xC\right]}\]

---