Ірраціональні вирази

Ірраціональними називають рівняння, в яких невідома величина розміщена під знаком кореня певного степеня.
Найпростіші ірраціональні рівняння розв'язуються або піднесенням до степеня, або заміною.

Дробово-ірраціональні вирази

Алгебраїчний вираз називають дробово-ірраціональним, якщо хоча б один з виразів є ірраціональним відносно змінної .

Прості ірраціональні рівняння

Приклад 1 Знайти розв'язок рівняння: \[\sqrt{3x+7}=4\]

Знаходимо область допустимих значень: \[\sqrt{3x+7}\geq0\Rightarrow x\geq-\frac{7}{3}\]

Підносимо обидві частини рівняння до квадрату та розв'язуємо: \[3x+7=16\] \[3x=16-7=9\Rightarrow x=3\]

Отже, розв'язок рівняння х=3.

Приклад 2 Знайти розв'язок рівняння: \[\sqrt{1-\frac{5х}{6}}=\frac{2}{3}\]

ОДЗ для рівняння заходимо з нерівності: \[\sqrt{1-\frac{5x}{6}}\geq0\Rightarrow1-\frac{5x}{5}\geq0\Rightarrow x\leq\frac{6}{5} \] \[х\in\left(-\infty;\frac{6}{5}\right]\]

Розкриваємо ірраціональність рівняння та знаходимо корінь: \[1-\frac{5x}{5}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}\] \[\frac{5x}{6}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\Rightarrow 5x=\frac{5\cdot6}{9}\Rightarrow x=\frac{2}{3}\]

Отже, відповідь є розв'язком, оскільки х належить області допустимих значень.

Приклад 2 Знайти розв'язок рівняння: \[\left(\frac{x+5}{x}\right)^{0,5}+4\left(\frac{x}{x+5}\right)^{0,5}=4\]

Підносити до квадрату в подібних рівняннях не потрібно.

Для спрощення робимо заміну. \[\left(\frac{x+5}{x}\right)^{0,5}=y\]

Рівняння перетвориться на наступне: \[y+\frac{4}{y}=4\]

Множимо на змінну y і переписуємо у вигляді квадратного рівняння: \[y^{2}-4y+4=0\]

Розв'язавши за теоремою Вієта отримуємо одинакові корені \[y_{1}=y_{2}=2\]

Повертаємося до заміни та знаходимо розв'язок: \[\left(\frac{x+5}{x}\right)^{0,5}=2\] \[\frac{x+5}{x}=4\Rightarrow x+5=4x\Rightarrow x=\frac{5}{3}\]

Значення x задовільняє рівняння, отже є його розв'язком.

---