Комбінаторика

Комбінаторика - розділ математики, у якому вивчають способи вибору та розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов.

Перестановки
Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з n заданих елементів.

Формула числа перестановок: \[P_{n}=n!\] \[n!=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\]

Приклад 1

Кількість різних шестицифрових чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6
не повторюючи ці цифри в одному числі. \[P_{6}=6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720\]

Розміщення
Розміщення з n елементів по k називають будь-яку впорядковану множину
з k елементів, складену з елементів заданої n-елементарної множини.

Формула числа розміщеннь:
\[A_a^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\]

Приклад 2

Кількість різних трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6,
якщо цифри не можуть повторюватися. \[A_6^3=\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=4\cdot 5\cdot6=120\]

Комбінації
Комбінацією без повторень з n елементів по k називають будь-яку k-елементну підмножину
заданої n-елементарної множини.

Формула числа комбінації: \[C_n^k=\frac{n!}{n!\left(n-k\right)!}\]

Приклад 3 Скількома способами із класу, що складається з 25 учнів, можна виділити 5 учнів для чергування по школі ? $$C_{25}^{5}=\frac{25!}{5!\left(25-5\right)!}=\frac{25!}{5!\cdot20!}=\frac{21\cdot22\cdot23\cdot24\cdot25}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=53130$$

---