Логарифмічні нерівності

Найпростішими логарифмічними нерівностями зазвичай вважають нерівності виду \[\log_{a}f\left({x}\right)>\log_{a}g\left({x}\right)\] \[a>0,a\neq1\]

Щоб розв'язати нерівность можна використати рівносильні перетворення.

Для цього необхідно врахувати її ОДЗ: \[\begin{cases}f\left(x\right) > 0\\g\left(x\right) > 0\end{cases}\]

і розглянути два випадки:

1) Основа логарифма більша за 1.

Логарифмічна функція \[y=\log_{a}{t}\]

Зростає на всій своїй області визначення ( t>0).

Тому більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу. \[f\left(x\right)>g\left(x\right)\]

Підсумок! Рівняння рівносильні якщо (перший випадок): \[\log_{a}f{\left(x\right)}>log_{a}g{\left(x\right)}\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right) > g\left(x\right)\\f\left( x\right) > 0, g\left( x\right)>0 \end{cases}\]

2) Основа логарифма менша за 1, але більша за нуль.

Логарифмічна функція \[y=\log_{a}{t}\]

Спадає на всій своїй області визначення (t>0).

Тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу. $$ f\left(x\right) < g \left(x\right) $$ Підсумок!Рівняння рівносильні якщо(другий випадок): \[\log_{a}f{\left(x\right)}>log_{a}g{\left(x\right)}\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right) < g\left(x\right)\\f\left( x\right) > 0, g\left( x\right)>0 \end{cases}\]

Приклад 1

Розв'яжіть нерівність: \[\log_{0,2}\left({х-1}\right)+\log_{0,2}\left({х+3}\right)>-1\]

Розв'язання:

Знаходження ОДЗ: \[\begin{cases}x-1> 0\\ x+3 > 0\end{cases}\]

На цій ОДЗ задана нерівність рівносильна нерівності: \[\log_{0,2}\left(\left({х-1}\right)\left({х+3}\right)\right)\geq\log_{0,2}\left({0,2}\right)^{-1}\]

Функція є спадною.\[y=\log_{0,2}{t}\]

Отже,\[\left(x-1\right)\left(x+3\right)\leq\left(0,2\right)^{-1}\]

Одержуємо: \[x^{2}+2x-3\leq5,x^{2}+2x-8\leq0\]

Остання нерівність має розв'язки:\[-4\leqх\leq2\]

Враховуючи ОДЗ, одержуємо: \[1<х\leq2\]

Відповідь: \[\left(1;2\right]\]

---