ПОНЯТТЯ ПЕРВІСНОЇ ФУНКЦІЇ

Первісною для данох функції \(y=f(x)\) на заданому проміжку \((a;b)\) називається така функція \(F(x)\), що \(F'(x)=f(x)\) для всіх \(x \in (a;b)\).

Операція знаходження первісної F для даної функції \(y=f(x)\) називається інтергуванням.

Теорема 1. Будь-яка неперервна на відрізку \([a;b]\) функція \(y=f(x)\) має первісну функцію.

Лема. Якщо \(F'(x)=0\) на деякому проміжку, то \(F(x)=C\) на цьому проміжкую де С - стала.

Теорема 2. Якщо на деякому проміжку функція \(F(x)\) є первісною для \(f(x)\),то на цьму проміжку первісною для \(f(x)\) буде також функція \(F(x)+C\), де С - довільна стала.

Теорема 3. Будь-які дві первісні функції для однієї і тієї самої функції відрізняються одна від одної на сталий додаток.

ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА

\(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\), де \(f(x)\) - функція неперервна на відрізку \([a;b]\), а \(F(x)\) - довільна первісна для \(f(x)\) на \([a;b]\). Цю формулу можна записати у вигляді \(\int_a^b f(x)dx=F(x)\bigg|_a^b\).

Задача.

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями \(y=x^2\) та \(y=x+2\).

Розв’язання.

\(x^2=x+2; x^2-x-2=0; x_1=2, x_2=-1\).

\(S=\int_{-1}^2 (x+2-x^2)dx=(\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3})\bigg|_{-1}^2=\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3}-(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}+6-\frac{9}{3}=\frac{9}{2}\).

Відповідь: \(\frac{9}{2}\).

Задача.

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями \(y=5-x^2\) та \(y=1\).

Розв’язання.

\(5-x^2=1; x^2=4; x=\pm2\).

\(S=2S_1\);

\(S=2S_1=2\int_0^2(5-x^2-1)dx=2\int_0^2(4-x^2)dx=2(4x-\frac{x^3}{3})\bigg|_0^2=2(8-\frac{8}{3})=2*\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\).

Відповідь: \(\frac{32}{3}\).

---