КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Квадратним рівнянням називається рівняння виду \(ax^2+bx+c=0\), де \(x\) - невідоме, \(a, b, c\) - деякі числа, причому \(a\neq 0\).
Числа \(a, b, c\) - коефіцієнти квадратного рівняння: а - перший коефіцієнт, b - другий, c - вільний член. Якщо \(а=1\), рівняння називається зведеним. Якщо хоча б один із коефицієнтів b або c дорівнює 0, рівняння називається неповним.
ВИДИ НЕПОВНИХ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ І ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ
1)Якщо \(b=0, c=0\), квадратне рівняння набуває вигляду \(ax^2=0\) і має один корінь \(x=0\).
2)Якщо \(c=0, b\neq 0\), квадратне рівняння набуває вигляду \(ax^2+bx=0\). Розв’язуючи його, маємо: \(x(ax+b)=0; x=0\) або \(ax+b=0\).
Рівняння має два корені:
$$x_1=0; x_2=-\frac{b}{a}.$$
3)Якщо \(с\neq 0, b=0\), квадратне рівняння набуває вигляду \(ax^2+c=0\).
$$ax^2+c=0;$$
$$x^2=-\frac{c}{a}.$$
Якщо
$$-\frac{c}{a}>0,$$
рівняння має два корені:
$$x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}.$$
Якщо
$$-\frac{c}{a}<0,$$
рівняння коренів не має.
ВИДІЛЕННЯ ПОВНОГО КВАДРАТА
Розв’язування квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена розглянемо на прикладі.
$$3x^2-5x-2=0.$$
Розв’язання
Поділимо всі коефіцієнти рівняння на перший коефіцієнт:
$$3x^2-5x-2=0|:3;$$
й отримаємо таким чином зведене квадратне рівняння:
$$x^2-\frac{5}{3}x-2=0;$$
$$x^2-2\cdot \frac{5}{6}x-\frac{2}{3}=0.$$
Для того, щоб отримати повний квадрат треба додати і відняти від лівої частини рівняння
$$\left(\frac{5}{6}\right)^2:$$
$$x^2-2\cdot \frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2-\frac{2}{3}=0;$$
$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2-\frac{2}{3}=0;$$
$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}+\frac{24}{36};$$
$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{49}{36};$$
$$x-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$$
або
$$x-\frac{5}{6}-=\frac{7}{6};$$
$$x=2;$$
$$x=-\frac{1}{3}.$$
Відповідь:
$$2;-\frac{1}{3}.$$
ФОРМУЛА КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ
Корені квадратного рівняння
$$ax^2+bx+c=0 (a=\neq 0)$$
знаходять за формулою
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
Вираз \(b^2-4ac\) називається дискримінантом і позначається буквою D.
КІЛЬКІСТЬ КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ
1)Якщо \(D<0\), рівняння не має коренів;
2)Якщо \(D=0\), рівняння має один корінь:
$$x=-\frac{b}{2a}$$
3)Якщо \(D>0\), рівняння має два корені:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$
Для квадратних рівнянь із парним другим коефіцієнтом зручніше користуватися формулою, наведеною нижче.
Позначимо
$$D_1=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac.$$
Тоді, для \(D_1\ge 0 \) маємо:
$$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D_1}}{a}.$$
