Лінійним рівнянням з двома невідомими називається рівняння виду ax+by+c, де x і у - невідомі, a,b,c - деякі числа (коефіціенети рівняння).
Розв’язком рівняння з двома невідомими називається пара значень невідомих, при яких рівняння перетворюється на правильну числову рівність.
Задача.
Знайдіть усі значення параметра a, при яких система рівнянь \(\left\{ \begin{aligned} &ax+y=3a-1,\\ &x+ay=2\\ \end{aligned} \right.\) НЕ має розв’язків. Якщо таке значення одне, запишіть ЙОГО у відповідь, якщо кілька - у відповідь запишить їх СУМУ.
Розв’язання.
Система не має розв’язків, якщо \(\frac{a}{1}=\frac{1}{a}\neq\frac{3a-1}{2}\); \(\frac{a}{1}=\frac{1}{a}\) при \(a=-1\), то \(-1=-1\neq-2\).
Відповідь: \(-1\).
Задача.
Розв’яжіть систему рівнянь \(\left\{ \begin{aligned} &5^{2x-y}=\frac{1}{5},\\ &5^{2x}+5^y=6\sqrt{5}.\\ \end{aligned} \right.\) Для отриманого розв’язку \((x_0;y_0)\) системи обчисліть ДОБУТОК \(x_0*y_0\).
Розв’язання.
Нехай \(5^{2x}=t,t>0;5^y=p,p>0\), тоді \(\left\{ \begin{aligned} &\frac{t}{p}=\frac{1}{5},\\ &t+p=6\sqrt{5};\\ \end{aligned} \right.\) \(\left\{ \begin{aligned} &p=5t,\\ &6t=6\sqrt{5};\\ \end{aligned} \right.\) \(\left\{ \begin{aligned} &t=\sqrt{5},\\ &p=5\sqrt{5};\\ \end{aligned} \right.\) \(\left\{ \begin{aligned} &5^{2x}=5^{\frac{1}{2}},\\ &5^y=5^{\frac{3}{2}};\\ \end{aligned} \right.\) \(\left\{ \begin{aligned} &x=\frac{1}{4},\\ &y=\frac{3}{2}.\\ \end{aligned} \right.\)
$$x_0*y_0=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{8}=0,375.$$
Відповідь: \(0,375\).
